При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю: $\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$ Сложим первое уравнение со вторым, получаем: $2y-4=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений? 1. $a∈(0; 3)$ 2. $a∈(0; 5)$ 3. $a∈(3; 5)$ 4. Решений нет

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен. Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$ Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$ $a^2-8a+15

Постройте график функции $y={|x-6|}-{|x+4|}+x+1$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки. 1. $a=-3$ 2. $a=7$ 3. $a∈(-3; 7)$ 4. $a=-3$ и $a=7$ В ответ запишите номер верного варианта ответа.

1. Найдем нуль каждого модуля: $x-6=0 ⇒ x=6$ $x+4=0 ⇒ x=-4$ 2. Раскроем модуль на каждом промежутке: $x

Постройте график функции $y={|x-2|}+{|x-5|}+x-5$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки. 1. $a=0$ 2. $a=2$ 3. $a∈(-∞; 0)$ 4. $a∈(0; +∞)$ В ответ запишите номер верного варианта ответа.

1. Найдем нуль каждого модуля: $x-2=0 ⇒ x=2$ $x-5=0 ⇒ x=5$ 2. Раскроем модуль на каждом промежутке: $x

Постройте график функции $y=\{{\table {x, \text ' при 'x

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке: По графику видно, что при $a=0$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.

Постройте график функции $y=x^2-5|x|+x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. 1. $p=-9$ 2. $p=-4$ 3. $p∈(-9; -4)∪(0; +∞)$ 4. $p∈(-9; 4)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-5x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=|x|(x+2)-4x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. 1. $p=-1$ 2. $p=-9$ 3. $p∈(-1; 0)∪(9; +∞)$ 4. $p∈(-1; 9)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x(x+2)-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+2)-4x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=|x^2-x-6|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-x-6$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox: По графику видно, что при $p=6,25$ прямая $y=6,25$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; -3)$ и $(10;2)$, вторая - через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая: ${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$ 1. Первая прямая проходит через точки $(5; -3)$ и $(10;2)$, подставим в формулу: ${x-5}/{10-5}={y-(-3)}/{2-(-3)} ⇔ {x-5}/{5}={y+3}/{5} ⇔ y=x-8$ - уравнение 1 прямой 2. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$, подставим в формулу: ${x-1}/{3-1}={y-2}/{-2-2} ⇔ {x-1}/{2}={y-2}/{-4} ⇔ y=-2x+4$ - уравнение 2 прямой 3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы: $\{{\table {y=x-8}; {y=-2x+4}$ $⇔$ $\{{\table {x=4}; {y=-4}$ 4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $4$.

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Модуль - это расстояние, а значит величина неотрицательная. Сумма $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$ принимает наименьшее значение равное нулю в том случае, когда каждое подмодульное выражение равно нулю: $\{{\table {3x-4y+8=0}; {3x+3y-6=0};}$ Вычтем из первого уравнения второе, получаем: $-7y+14=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю: $\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$ Сложим первое уравнение со вторым, получаем: $2y-4=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений? 1. $a∈(0; 3)$ 2. $a∈(0; 5)$ 3. $a∈(3; 5)$ 4. Решений нет

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен. Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$ Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$ $a^2-8a+15

Постройте график функции $y={|x-6|}-{|x+4|}+x+1$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки. 1. $a=-3$ 2. $a=7$ 3. $a∈(-3; 7)$ 4. $a=-3$ и $a=7$ В ответ запишите номер верного варианта ответа.

1. Найдем нуль каждого модуля: $x-6=0 ⇒ x=6$ $x+4=0 ⇒ x=-4$ 2. Раскроем модуль на каждом промежутке: $x

Постройте график функции $y={|x-2|}+{|x-5|}+x-5$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки. 1. $a=0$ 2. $a=2$ 3. $a∈(-∞; 0)$ 4. $a∈(0; +∞)$ В ответ запишите номер верного варианта ответа.

1. Найдем нуль каждого модуля: $x-2=0 ⇒ x=2$ $x-5=0 ⇒ x=5$ 2. Раскроем модуль на каждом промежутке: $x

Постройте график функции $y=\{{\table {x, \text ' при 'x

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке: По графику видно, что при $a=0$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.

Постройте график функции $y=x^2-5|x|+x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. 1. $p=-9$ 2. $p=-4$ 3. $p∈(-9; -4)∪(0; +∞)$ 4. $p∈(-9; 4)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-5x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=|x|(x+2)-4x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. 1. $p=-1$ 2. $p=-9$ 3. $p∈(-1; 0)∪(9; +∞)$ 4. $p∈(-1; 9)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x(x+2)-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+2)-4x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=|x^2-x-6|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-x-6$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox: По графику видно, что при $p=6,25$ прямая $y=6,25$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; -3)$ и $(10;2)$, вторая - через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая: ${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$ 1. Первая прямая проходит через точки $(5; -3)$ и $(10;2)$, подставим в формулу: ${x-5}/{10-5}={y-(-3)}/{2-(-3)} ⇔ {x-5}/{5}={y+3}/{5} ⇔ y=x-8$ - уравнение 1 прямой 2. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$, подставим в формулу: ${x-1}/{3-1}={y-2}/{-2-2} ⇔ {x-1}/{2}={y-2}/{-4} ⇔ y=-2x+4$ - уравнение 2 прямой 3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы: $\{{\table {y=x-8}; {y=-2x+4}$ $⇔$ $\{{\table {x=4}; {y=-4}$ 4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $4$.

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Модуль - это расстояние, а значит величина неотрицательная. Сумма $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$ принимает наименьшее значение равное нулю в том случае, когда каждое подмодульное выражение равно нулю: $\{{\table {3x-4y+8=0}; {3x+3y-6=0};}$ Вычтем из первого уравнения второе, получаем: $-7y+14=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

Задание 22. Функции, графики и их свойства. ОГЭ 2027 по математике

За это задание ты можешь получить 2 балла.

Задачи для практики

Задача 1

Постройте график функции $y={4x+10}/{4x^2+10x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Показать решение

Полный курс

Задача 2

Постройте график функции

 $y=\{{\table {1/2x+1, \text ' при 'x<2}; {-2x+6, \text ' при ' 2≤x<3}; {4x-12,\text ' при ' x≥3};}$

и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.
В ответ запишите наибольшее такое значение.

Показать решение

Полный курс

Задача 3

Постройте график функции ${(√{x^2-8x+15})^2}/{x-3}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек.
1. $a=0$
2. $a=-2$
3. $a∈[-2; 0)$
4. $a∈(0; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.

Показать решение

Полный курс

Задача 4

При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax$ имеет с графиком функции $y=x^2+1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.

Показать решение

Полный курс

Задача 5

Первая прямая проходит через точки с координатами $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, вторая - через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.