Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=4$ и $a=6$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.

1. Упростим выражение:
$y=-{x+2}/{x^2+2x}+1=-{x+2}/{x(x+2)}+1=-1/x+1$ при $x+2≠0 ⇒ x≠-2$

2. Так как $x≠-2 ⇒ y≠1,5$, следовательно точки $(-2; 1,5)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2; 1,5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2)=1,5 ⇒ k=-3/4=-0,75$

4. Построим график:

1. Упростим выражение:
$y={x-1}/{x^2-x}={x-1}/{x(x-1)}=1/x,$ при $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. Так как $x≠1 ⇒ y≠1$, следовательно точки $(1; 1)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(1; 1)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·1=1 ⇒ k=1$

4. Построим график:

1. Упростим выражение:
$y={2x+6}/{2x^2+6x}={2x+6}/{x(2x+6)}=1/x,$ при $2x+6≠0 ⇒ x≠-3$

2. Так как $x≠-3 ⇒ y≠-1/3$, следовательно точки $(-3; -1/3)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-3; -1/3)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-3)=-1/3 ⇒ k=1/9$

4. Построим график:

5. В 3 пункте был найден коэффициент $k=1/9$. В ответ необходимо записать знаменатель данного коэффициента, то есть число 9.

1. Ограничение: $1-x≠0 ⇒ x≠1$

2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2+1)(x-1)}/{1-x}={(x^2+1)(x-1)}/{-(x-1)}=-(x^2+1)=-x^2-1$

3. Поскольку парабола и прямая имеют одну общую точку, система уравнений имеет 1 решение:
$\{{\table {y=-x^2-1}; {y=kx};} ⇔ -x^2-1=kx ⇔ x^2+kx+1=0$
Чтобы система имела единственное решение, данное квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть при $D=0$:
$D=k^2-4 ⇔ k^2-4=0 ⇔ k=±2$
Прямые $y=-2x$ и $y=2x$ имеют с графиком одну общую точку.

4. Обратим внимание на то, что если $ x≠1 ⇒ y≠-2$, то есть в точке $(1; -2)$ функция не существует, а значит прямая, проходящая через нее, не имеет с графиком общих точек. Найдем коэффициент $k$, подставляя данную точку в уравнение прямой $y=kx$:
$-2=k·1 ⇒ k=-2 ⇒ y=-2x$ имеет с графиком одну общую точку. Прямые из пунктов 3 и 4 совпали (такое иногда случается, все равно нужно проверять выколотую точку отдельно)

5. Таким образом, при $k=-2$ и $k=2$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции одну общую точку. Наибольшее значение: $k=2$.

6. Построим графики:

1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2+4x-5=0 ⇒ x_1=-5, x_2=1 ⇒x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(1-x)(x^2+4x-5)}/{x-1}={(1-x)(x+5)(x-1)}/{x-1}=(1-x)(x+5)=-x^2-4x+5$

4. Построим график функции $y=-x^2-4x+5$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠0 ⇒$ выколотая точка $(1; 0)$:


5. По графику видно, что при $a=0$ и $a=9$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=9$.

1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}={(x-2)(x-1)(x-4)}/{x-1}=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠3 ⇒$ выколотая точка $(1; 3)$:


5. По графику видно, что при $a=-1$ и $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=3$.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-5t+4=0 ⇒ t_1=1, t_2=4 ⇒ (t-1)(t-4)$
Обратная замена: $(t-1)(t-4)=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}/{(x-1)(x-2)}=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-0,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x-2)≠0 ⇒ x≠1, x≠2$
Если $x≠1 ⇒ y≠6 ⇒ a=6$
Если $x≠2 ⇒ y≠12 ⇒ a=12$
Таким образом, при $a=-0,25; a=6; a=12$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $12$.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-2(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-2x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2x-2, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-3x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2+x-2, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:

При $p∈(-2,25; -0,25)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x+1)-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+1)-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2+x-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-x-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-1$ и $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+6x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p∈(-9; -4)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(5; 2)$ и $(8; 5)$, подставим в формулу:
${x-5}/{8-5}={y-2}/{5-2} ⇔ {x-5}/{3}={y-2}/{3} ⇔ y=x-3$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$, подставим в формулу:
${x-(-3)}/{0-(-3)}={y-(-9)}/{3-(-9)} ⇔ {x+3}/{3}={y+9}/{12} ⇔ y=4x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-3}; {y=4x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-2}; {y=-5}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-2$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, подставим в формулу:
${x-(-5)}/{-1-(-5)}={y-4}/{-4-4} ⇔ {x+5}/{4}={y-4}/{-8} ⇔ y=-2x-6$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$, подставим в формулу:
${x-(-4)}/{2-(-4)}={y-(-1)}/{5-(-1)} ⇔ {x+4}/{6}={y+1}/{6} ⇔ y=x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=-2x-6}; {y=x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-3}; {y=0}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-3$.