Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2+3x-4$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox:

По графику видно, что при $p∈0∪(6,25; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

1. Упростим выражение:
$y=-{x+2}/{x^2+2x}+1=-{x+2}/{x(x+2)}+1=-1/x+1$ при $x+2≠0 ⇒ x≠-2$

2. Так как $x≠-2 ⇒ y≠1,5$, следовательно точки $(-2; 1,5)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2; 1,5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2)=1,5 ⇒ k=-3/4=-0,75$

4. Построим график:

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-5t+4=0 ⇒ t_1=1, t_2=4 ⇒ (t-1)(t-4)$
Обратная замена: $(t-1)(t-4)=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}/{(x-1)(x-2)}=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-0,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x-2)≠0 ⇒ x≠1, x≠2$
Если $x≠1 ⇒ y≠6 ⇒ a=6$
Если $x≠2 ⇒ y≠12 ⇒ a=12$
Таким образом, при $a=-0,25; a=6; a=12$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $12$.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-17t+16=0 ⇒ t_1=1, t_2=16 ⇒ (t-1)(t-16)$
Обратная замена: $(t-1)(t-16)=(x^2-1)(x^2-16)=(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)}/{(x-4)(x-1)}=(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-2,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-4)(x-1)≠0 ⇒ x≠1, x≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠10 ⇒ a=10$
Если $x≠4 ⇒ y≠40 ⇒ a=40$
Таким образом, при $a=-2,25; a=10; a=40$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $40$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x+1)-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+1)-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2+x-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-x-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-1$ и $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+6x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p∈(-9; -4)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-x-6$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox:

По графику видно, что при $p=6,25$ прямая $y=6,25$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(1; 4)$ и $(-1; -6)$, подставим в формулу:
${x-1}/{-1-1}={y-4}/{-6-4} ⇔ {x-1}/{-2}={y-4}/{-10} ⇔ y=5x-1$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(4; 1)$ и $(8; -3)$, подставим в формулу:
${x-4}/{8-4}={y-1}/{-3-1} ⇔ {x-4}/{4}={y-1}/{-4} ⇔ y=-x+5$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=5x-1}; {y=-x+5}$ $⇔$ $\{{\table {x=1}; {y=4}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $1$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, подставим в формулу:
${x-(-5)}/{-1-(-5)}={y-4}/{-4-4} ⇔ {x+5}/{4}={y-4}/{-8} ⇔ y=-2x-6$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$, подставим в формулу:
${x-(-4)}/{2-(-4)}={y-(-1)}/{5-(-1)} ⇔ {x+4}/{6}={y+1}/{6} ⇔ y=x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=-2x-6}; {y=x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-3}; {y=0}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-3$.

1. Упростим выражение:
$y={2x+6}/{2x^2+6x}={2x+6}/{x(2x+6)}=1/x,$ при $2x+6≠0 ⇒ x≠-3$

2. Так как $x≠-3 ⇒ y≠-1/3$, следовательно точки $(-3; -1/3)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-3; -1/3)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-3)=-1/3 ⇒ k=1/9$

4. Построим график:

5. В 3 пункте был найден коэффициент $k=1/9$. В ответ необходимо записать знаменатель данного коэффициента, то есть число 9.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю:
$\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$
Сложим первое уравнение со вторым, получаем:
$2y-4=0 ⇒ y=2$
Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$
Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$
В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-8x+15≥0}; {x-3≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; 3)∪[5; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-8x+15})^2}/{x-3}={x^2-8x+15}/{x-3}={(x-3)(x-5)}/{x-3}=x-5$
3.Построим график функции $y=x-5$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-2; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.

1. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим каждую скобку на множители:
$x^2-4x+3=0 ⇒ x_1=1, x_2=3 ⇒x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
$x^2-x-12=0 ⇒ x_1=-3, x_2=4 ⇒x^2-x-12=(x+3)(x-4)$
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2-4x+3)(x^2-x-12)}/{x^2-5x+4}={(x-1)(x-3)(x+3)(x-4)}/{(x-1)(x-4)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Ограничения: $x^2-5x+4≠0 ⇒ x_1≠1, x_2≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠4 ⇒ y≠7$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точки $(1; -8)$ и $(4; 7)$:


5. По графику видно, что при $a=-9$, $a=-8$ и $a=7$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=-4$.