При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax$ имеет с графиком функции $y=x^2+1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.

Функция $y=ax$ и $y=x^2+1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение: $\{{\table {y=ax}; {y=x^2+1}$ $⇔$ $x^2+1=ax$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$ Уравнение имеет единственный корень при $D=0$: $D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$ Таким образом, прямые $y=-2x$ и $y=2x$ являются касательными к графику функции $y=x^2+1$. Построим графики: Наибольшее значение: $a=2$.

Постройте график функции $y=x^2-|4x|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. 1. $p=0$ 2. $p=-4$ 3. $p∈(-4; 0)$ 4. $p∈(0; +∞)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=x^2-3|x|+x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. В ответ запишите наибольшее такое значение.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю: $\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$ Сложим первое уравнение со вторым, получаем: $2y-4=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений? 1. $a∈(0; 3)$ 2. $a∈(0; 5)$ 3. $a∈(3; 5)$ 4. Решений нет

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен. Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$ Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$ $a^2-8a+15

Постройте график функции $y={|x-6|}-{|x+4|}+x+1$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки. 1. $a=-3$ 2. $a=7$ 3. $a∈(-3; 7)$ 4. $a=-3$ и $a=7$ В ответ запишите номер верного варианта ответа.

1. Найдем нуль каждого модуля: $x-6=0 ⇒ x=6$ $x+4=0 ⇒ x=-4$ 2. Раскроем модуль на каждом промежутке: $x

Постройте график функции $y=|x|(x+2)-4x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. 1. $p=-1$ 2. $p=-9$ 3. $p∈(-1; 0)∪(9; +∞)$ 4. $p∈(-1; 9)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x(x+2)-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+2)-4x, \text ' при ' x

При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax-2$ имеет с графиком функции $y=x^2-1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение: $\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$ Уравнение имеет единственный корень при $D=0$: $D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$ Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$. Построим графики: Наибольшее значение: $a=2$.

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Модуль - это расстояние, а значит величина неотрицательная. Сумма $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$ принимает наименьшее значение равное нулю в том случае, когда каждое подмодульное выражение равно нулю: $\{{\table {3x-4y+8=0}; {3x+3y-6=0};}$ Вычтем из первого уравнения второе, получаем: $-7y+14=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

Постройте график функции $y=\{{\table {1/2x+1, \text ' при 'x

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке: По графику видно, что при $a=0$ и $a=2$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки. В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.

При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax$ имеет с графиком функции $y=x^2+1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.

Функция $y=ax$ и $y=x^2+1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение: $\{{\table {y=ax}; {y=x^2+1}$ $⇔$ $x^2+1=ax$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$ Уравнение имеет единственный корень при $D=0$: $D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$ Таким образом, прямые $y=-2x$ и $y=2x$ являются касательными к графику функции $y=x^2+1$. Построим графики: Наибольшее значение: $a=2$.

Постройте график функции $y=x^2-|4x|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. 1. $p=0$ 2. $p=-4$ 3. $p∈(-4; 0)$ 4. $p∈(0; +∞)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=x^2-3|x|+x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. В ответ запишите наибольшее такое значение.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю: $\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$ Сложим первое уравнение со вторым, получаем: $2y-4=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений? 1. $a∈(0; 3)$ 2. $a∈(0; 5)$ 3. $a∈(3; 5)$ 4. Решений нет

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен. Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$ Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$ $a^2-8a+15

Постройте график функции $y={|x-6|}-{|x+4|}+x+1$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки. 1. $a=-3$ 2. $a=7$ 3. $a∈(-3; 7)$ 4. $a=-3$ и $a=7$ В ответ запишите номер верного варианта ответа.

1. Найдем нуль каждого модуля: $x-6=0 ⇒ x=6$ $x+4=0 ⇒ x=-4$ 2. Раскроем модуль на каждом промежутке: $x

Постройте график функции $y=|x|(x+2)-4x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. 1. $p=-1$ 2. $p=-9$ 3. $p∈(-1; 0)∪(9; +∞)$ 4. $p∈(-1; 9)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x(x+2)-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+2)-4x, \text ' при ' x

При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax-2$ имеет с графиком функции $y=x^2-1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение: $\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$ Уравнение имеет единственный корень при $D=0$: $D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$ Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$. Построим графики: Наибольшее значение: $a=2$.

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Модуль - это расстояние, а значит величина неотрицательная. Сумма $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$ принимает наименьшее значение равное нулю в том случае, когда каждое подмодульное выражение равно нулю: $\{{\table {3x-4y+8=0}; {3x+3y-6=0};}$ Вычтем из первого уравнения второе, получаем: $-7y+14=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

Постройте график функции $y=\{{\table {1/2x+1, \text ' при 'x

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке: По графику видно, что при $a=0$ и $a=2$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки. В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.