Постройте график функции $y=\{{\table {x+3, \text ' при 'x

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке: По графику видно, что при $a=-3,5$ и $a=0,5$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки. В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.

Постройте график функции $y=|x^2-x-6|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-x-6$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox: По графику видно, что при $p=6,25$ прямая $y=6,25$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений? 1. $a∈(0; 3)$ 2. $a∈(0; 5)$ 3. $a∈(3; 5)$ 4. Решений нет

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен. Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$ Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$ $a^2-8a+15

Первая прямая проходит через точки с координатами $(3; 1)$ и $(5; 7)$, вторая - через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая: ${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$ 1. Первая прямая проходит через точки $(3; 1)$ и $(5; 7)$, подставим в формулу: ${x-3}/{5-3}={y-1}/{7-1} ⇔ {x-3}/{2}={y-1}/{6} ⇔ y=3x-8$ - уравнение 1 прямой 2. Вторая прямая проходит через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$, подставим в формулу: ${x-1}/{5-1}={y-(-1)}/{-5-(-1)} ⇔ {x-1}/{4}={y+1}/{-4} ⇔ y=-x$ - уравнение 2 прямой 3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы: $\{{\table {y=3x-8}; {y=-x}$ $⇔$ $\{{\table {x=2}; {y=-2}$ 4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $2$.

Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; -3)$ и $(10;2)$, вторая - через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая: ${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$ 1. Первая прямая проходит через точки $(5; -3)$ и $(10;2)$, подставим в формулу: ${x-5}/{10-5}={y-(-3)}/{2-(-3)} ⇔ {x-5}/{5}={y+3}/{5} ⇔ y=x-8$ - уравнение 1 прямой 2. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$, подставим в формулу: ${x-1}/{3-1}={y-2}/{-2-2} ⇔ {x-1}/{2}={y-2}/{-4} ⇔ y=-2x+4$ - уравнение 2 прямой 3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы: $\{{\table {y=x-8}; {y=-2x+4}$ $⇔$ $\{{\table {x=4}; {y=-4}$ 4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $4$.

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю: $\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$ Сложим первое уравнение со вторым, получаем: $2y-4=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax$ имеет с графиком функции $y=x^2+1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.

Функция $y=ax$ и $y=x^2+1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение: $\{{\table {y=ax}; {y=x^2+1}$ $⇔$ $x^2+1=ax$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$ Уравнение имеет единственный корень при $D=0$: $D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$ Таким образом, прямые $y=-2x$ и $y=2x$ являются касательными к графику функции $y=x^2+1$. Построим графики: Наибольшее значение: $a=2$.

Постройте график функции $y=x^2-2|x-1|-2x+4$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-2(x-1)-2x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+2(x-1)-2x+4, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=x^2-3|x|+x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. В ответ запишите наибольшее такое значение.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=x^2-4|x|-2x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите значение p

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-4x-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x-2x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=|x^2+3x-4|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. 1. $p=0$ 2. $p=6,25$ 3. $p∈0∪(6,25; +∞)$ 4. $p∈(0; 6,25)$

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2+3x-4$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox: По графику видно, что при $p∈0∪(6,25; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Постройте график функции $y=\{{\table {x+3, \text ' при 'x

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке: По графику видно, что при $a=-3,5$ и $a=0,5$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки. В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.

Постройте график функции $y=|x^2-x-6|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-x-6$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox: По графику видно, что при $p=6,25$ прямая $y=6,25$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений? 1. $a∈(0; 3)$ 2. $a∈(0; 5)$ 3. $a∈(3; 5)$ 4. Решений нет

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен. Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$ Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$ $a^2-8a+15

Первая прямая проходит через точки с координатами $(3; 1)$ и $(5; 7)$, вторая - через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая: ${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$ 1. Первая прямая проходит через точки $(3; 1)$ и $(5; 7)$, подставим в формулу: ${x-3}/{5-3}={y-1}/{7-1} ⇔ {x-3}/{2}={y-1}/{6} ⇔ y=3x-8$ - уравнение 1 прямой 2. Вторая прямая проходит через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$, подставим в формулу: ${x-1}/{5-1}={y-(-1)}/{-5-(-1)} ⇔ {x-1}/{4}={y+1}/{-4} ⇔ y=-x$ - уравнение 2 прямой 3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы: $\{{\table {y=3x-8}; {y=-x}$ $⇔$ $\{{\table {x=2}; {y=-2}$ 4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $2$.

Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; -3)$ и $(10;2)$, вторая - через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая: ${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$ 1. Первая прямая проходит через точки $(5; -3)$ и $(10;2)$, подставим в формулу: ${x-5}/{10-5}={y-(-3)}/{2-(-3)} ⇔ {x-5}/{5}={y+3}/{5} ⇔ y=x-8$ - уравнение 1 прямой 2. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$, подставим в формулу: ${x-1}/{3-1}={y-2}/{-2-2} ⇔ {x-1}/{2}={y-2}/{-4} ⇔ y=-2x+4$ - уравнение 2 прямой 3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы: $\{{\table {y=x-8}; {y=-2x+4}$ $⇔$ $\{{\table {x=4}; {y=-4}$ 4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $4$.

При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2$? В ответ запишите значение переменной $x$.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю: $\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$ Сложим первое уравнение со вторым, получаем: $2y-4=0 ⇒ y=2$ Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$ Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$ В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax$ имеет с графиком функции $y=x^2+1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.

Функция $y=ax$ и $y=x^2+1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение: $\{{\table {y=ax}; {y=x^2+1}$ $⇔$ $x^2+1=ax$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$ Уравнение имеет единственный корень при $D=0$: $D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$ Таким образом, прямые $y=-2x$ и $y=2x$ являются касательными к графику функции $y=x^2+1$. Построим графики: Наибольшее значение: $a=2$.

Постройте график функции $y=x^2-2|x-1|-2x+4$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-2(x-1)-2x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+2(x-1)-2x+4, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=x^2-3|x|+x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. В ответ запишите наибольшее такое значение.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=x^2-4|x|-2x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите значение p

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля: $\{{\table {x^2-4x-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x-2x, \text ' при ' x

Постройте график функции $y=|x^2+3x-4|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки. 1. $p=0$ 2. $p=6,25$ 3. $p∈0∪(6,25; +∞)$ 4. $p∈(0; 6,25)$

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2+3x-4$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox: По графику видно, что при $p∈0∪(6,25; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Задание 22. Функции, графики и их свойства. ОГЭ 2027 по математике

За это задание ты можешь получить 2 балла.

Задачи для практики

Задача 1

Постройте график функции $y={2x+6}/{2x^2+6x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите знаменатель полученного коэффициента $k$.

Показать решение

Полный курс

Задача 2

Постройте график функции

 $y=\{{\table {x, \text ' при 'x<3}; {-2x+9, \text ' при ' 3≤x<4,5}; {2x-9,\text ' при ' x≥4,5};}$

и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.

Показать решение

Полный курс

Задача 3

Постройте график функции $y={|x-2|}+{|x-4|}-x-2$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
1. $a=-4$
2. $a=4$
3. $a∈(-∞; -4)$
4. $a∈(-4; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.

Показать решение

Полный курс

Задача 4

Постройте график функции $y=-{x+2}/{x^2+2x}+1$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Показать решение

Полный курс

Задача 5

Постройте график функции $y={|x-6|}-{|x+4|}+x+1$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки.
1. $a=-3$
2. $a=7$
3. $a∈(-3; 7)$
4. $a=-3$ и $a=7$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.