Задание 22. Функции, графики и их свойства. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Постройте график функции $y={x^4+x^3}/{x^2+x}+2$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Ограничение: $x^2+x≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^4+x^3}/{x^2+x}+2={x^2(x^2+x)}/{x^2+x}+2=x^2+2$
3. Построим график функции $y=x^2+2$
4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠3$
Если $x≠0 ⇒ y≠2$
5. По графику видно, что при $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Задача 2
Постройте график функции $y={2x+6}/{2x^2+6x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите знаменатель полученного коэффициента $k$.
Решение
1. Упростим выражение:
$y={2x+6}/{2x^2+6x}={2x+6}/{x(2x+6)}=1/x,$ при $2x+6≠0 ⇒ x≠-3$
2. Так как $x≠-3 ⇒ y≠-1/3$, следовательно точки $(-3; -1/3)$ на графике функции не существует
3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-3; -1/3)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-3)=-1/3 ⇒ k=1/9$
4. Построим график:
5. В 3 пункте был найден коэффициент $k=1/9$. В ответ необходимо записать знаменатель данного коэффициента, то есть число 9.
Задача 3
Постройте график функции $y=|x^2-x-6|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
Решение
Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-x-6$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox:
По графику видно, что при $p=6,25$ прямая $y=6,25$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
Задача 4
Постройте график функции
$y=\{{\table {x, \text ' при 'x<3}; {-2x+9, \text ' при ' 3≤x<4,5}; {2x-9,\text ' при ' x≥4,5};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=0$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
Задача 5
Постройте график функции $y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$
2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$
3. Преобразуем выражение:
$y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}={(x-2)(x-1)(x-4)}/{x-1}=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$
4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠3 ⇒$ выколотая точка $(1; 3)$:
5. По графику видно, что при $a=-1$ и $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=3$.
Задача 6
Постройте график функции $y={x^4-5x^2+4}/{(x-1)(x-2)}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-5t+4=0 ⇒ t_1=1, t_2=4 ⇒ (t-1)(t-4)$
Обратная замена: $(t-1)(t-4)=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$
2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}/{(x-1)(x-2)}=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$
3. Построим график функции:
4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-0,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x-2)≠0 ⇒ x≠1, x≠2$
Если $x≠1 ⇒ y≠6 ⇒ a=6$
Если $x≠2 ⇒ y≠12 ⇒ a=12$
Таким образом, при $a=-0,25; a=6; a=12$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $12$.
Задача 7
Постройте график функции $y={x-1}/{x^2-x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Упростим выражение:
$y={x-1}/{x^2-x}={x-1}/{x(x-1)}=1/x,$ при $x-1≠0 ⇒ x≠1$
2. Так как $x≠1 ⇒ y≠1$, следовательно точки $(1; 1)$ на графике функции не существует
3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(1; 1)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·1=1 ⇒ k=1$
4. Построим график:
Задача 8
Постройте график функции $y=-{x+2}/{x^2+2x}+1$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Упростим выражение:
$y=-{x+2}/{x^2+2x}+1=-{x+2}/{x(x+2)}+1=-1/x+1$ при $x+2≠0 ⇒ x≠-2$
2. Так как $x≠-2 ⇒ y≠1,5$, следовательно точки $(-2; 1,5)$ на графике функции не существует
3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2; 1,5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2)=1,5 ⇒ k=-3/4=-0,75$
4. Построим график:
Задача 9
Постройте график функции $y={4x+10}/{4x^2+10x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Упростим выражение:
$y={4x+10}/{4x^2+10x}={4x+10}/{x(4x+10)}=1/x,$ при $4x+10≠0 ⇒ x≠-2,5$
2. Так как $x≠-2,5 ⇒ y≠-2/5$, следовательно точки $(-2,5; -2/5)$ на графике функции не существует
3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2,5; -2/5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2,5)=-2/5 ⇒ k=4/25=0,16$
4. Построим график:
Задача 10
Постройте график функции
$y=\{{\table {x+3, \text ' при 'x<-2,5}; {-x-2, \text ' при ' -2,5≤x<1,5}; {x-5,\text ' при ' x≥1,5};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=-3,5$ и $a=0,5$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.
Задача 11
Постройте график функции $y={(x^2-4x+3)(x^2-x-12)}/{x^2-5x+4}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
1. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим каждую скобку на множители:
$x^2-4x+3=0 ⇒ x_1=1, x_2=3 ⇒x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
$x^2-x-12=0 ⇒ x_1=-3, x_2=4 ⇒x^2-x-12=(x+3)(x-4)$
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$
2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2-4x+3)(x^2-x-12)}/{x^2-5x+4}={(x-1)(x-3)(x+3)(x-4)}/{(x-1)(x-4)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$
3. Ограничения: $x^2-5x+4≠0 ⇒ x_1≠1, x_2≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠4 ⇒ y≠7$
4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точки $(1; -8)$ и $(4; 7)$:
5. По графику видно, что при $a=-9$, $a=-8$ и $a=7$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=-4$.
Задача 12
Постройте график функции $y={x^5+x^4}/{x^3+x^2}-3$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Ограничение: $x^3+x^2≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^5+x^4}/{x^3+x^2}-3={x^2(x^3+x^2)}/{x^3+x^2}-3=x^2-3$
3. Построим график функции $y=x^2-3$
4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠-2$
Если $x≠0 ⇒ y≠-3$
5. По графику видно, что при $a=-2$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Задача 13
Постройте график функции $y={x^4-10x^2+9}/{(x-1)(x+1)}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-10t+9=0 ⇒ t_1=1, t_2=9 ⇒ (t-1)(t-9)$
Обратная замена: $(t-1)(t-9)=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$
2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}/{(x-1)(x+1)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$
3. Построим график функции:
4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-9$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x+1)≠0 ⇒ x≠-1, x≠1$
Если $x≠-1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Отметим, что в данных точках прямая не имеет с графиком общих точек вообще, поэтому мы просто выкалываем их на графике, не указывая в ответе.
Таким образом, при $a=-9$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $-9$.
Задача 14
Постройте график функции $y=x^2-|5x|+4$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+4, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:
При $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
Задача 15
Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; 2)$ и $(8; 5)$, вторая - через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(5; 2)$ и $(8; 5)$, подставим в формулу:
${x-5}/{8-5}={y-2}/{5-2} ⇔ {x-5}/{3}={y-2}/{3} ⇔ y=x-3$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$, подставим в формулу:
${x-(-3)}/{0-(-3)}={y-(-9)}/{3-(-9)} ⇔ {x+3}/{3}={y+9}/{12} ⇔ y=4x+3$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-3}; {y=4x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-2}; {y=-5}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-2$.
Задача 16
Первая прямая проходит через точки с координатами $(1; 4)$ и $(-1; -6)$, вторая - через точки $(4; 1)$ и $(8; -3)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(1; 4)$ и $(-1; -6)$, подставим в формулу:
${x-1}/{-1-1}={y-4}/{-6-4} ⇔ {x-1}/{-2}={y-4}/{-10} ⇔ y=5x-1$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(4; 1)$ и $(8; -3)$, подставим в формулу:
${x-4}/{8-4}={y-1}/{-3-1} ⇔ {x-4}/{4}={y-1}/{-4} ⇔ y=-x+5$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=5x-1}; {y=-x+5}$ $⇔$ $\{{\table {x=1}; {y=4}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $1$.
Задача 17
Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; -3)$ и $(10;2)$, вторая - через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(5; -3)$ и $(10;2)$, подставим в формулу:
${x-5}/{10-5}={y-(-3)}/{2-(-3)} ⇔ {x-5}/{5}={y+3}/{5} ⇔ y=x-8$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$, подставим в формулу:
${x-1}/{3-1}={y-2}/{-2-2} ⇔ {x-1}/{2}={y-2}/{-4} ⇔ y=-2x+4$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-8}; {y=-2x+4}$ $⇔$ $\{{\table {x=4}; {y=-4}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $4$.
Задача 18
Постройте график функции $y={|x-6|}-{|x+4|}+x+1$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки.
1. $a=-3$
2. $a=7$
3. $a∈(-3; 7)$
4. $a=-3$ и $a=7$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.
Решение
1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-6=0 ⇒ x=6$
$x+4=0 ⇒ x=-4$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<-4 ⇒ y=-(x-6)+(x+4)+x+1=-x+6+x+4+x+1=x+11$
$-4≤x<6 ⇒ y=-(x-6)-(x+4)+x+1=-x+6-x-4+x+1=-x+3$
$x≥6 ⇒ y=+(x-6)-(x+4)+x+1=x-6-x-4+x+1=x-9$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=x+11, \text ' при ' x<-4$
$y=-x+3, \text ' при ' -4≤x<6$
$y=x-9, \text ' при ' x≥6$
График функции изображен на рисунке:
4. По графику видно, что прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки при $a=-3$ и $a=7$
Задача 19
Постройте график функции
$y=\{{\table {3x, \text ' при 'x<1}; {-6x+9, \text ' при ' 1≤x<2}; {x-5,\text ' при ' x≥2};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=-3$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=3$.
Задача 20
При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax-2$ имеет с графиком функции $y=x^2-1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.
Решение
Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:
Наибольшее значение: $a=2$.
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
