1. Ограничение: $x^2+x≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^4+x^3}/{x^2+x}+2={x^2(x^2+x)}/{x^2+x}+2=x^2+2$
3. Построим график функции $y=x^2+2$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠3$
Если $x≠0 ⇒ y≠2$
5. По графику видно, что при $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-10t+9=0 ⇒ t_1=1, t_2=9 ⇒ (t-1)(t-9)$
Обратная замена: $(t-1)(t-9)=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}/{(x-1)(x+1)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-9$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x+1)≠0 ⇒ x≠-1, x≠1$
Если $x≠-1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Отметим, что в данных точках прямая не имеет с графиком общих точек вообще, поэтому мы просто выкалываем их на графике, не указывая в ответе.
Таким образом, при $a=-9$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $-9$.

1. Ограничение: $x^3+x^2≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^5+x^4}/{x^3+x^2}-3={x^2(x^3+x^2)}/{x^3+x^2}-3=x^2-3$
3. Построим график функции $y=x^2-3$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠-2$
Если $x≠0 ⇒ y≠-3$
5. По графику видно, что при $a=-2$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим каждую скобку на множители:
$x^2-4x+3=0 ⇒ x_1=1, x_2=3 ⇒x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
$x^2-x-12=0 ⇒ x_1=-3, x_2=4 ⇒x^2-x-12=(x+3)(x-4)$
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2-4x+3)(x^2-x-12)}/{x^2-5x+4}={(x-1)(x-3)(x+3)(x-4)}/{(x-1)(x-4)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Ограничения: $x^2-5x+4≠0 ⇒ x_1≠1, x_2≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠4 ⇒ y≠7$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точки $(1; -8)$ и $(4; 7)$:


5. По графику видно, что при $a=-9$, $a=-8$ и $a=7$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=-4$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-1$ и $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. Наибольшее такое значение: $p=0$.

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-2x-8$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox:

По графику видно, что при $p∈(0; 9)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно четыре общие точки.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(1; 4)$ и $(-1; -6)$, подставим в формулу:
${x-1}/{-1-1}={y-4}/{-6-4} ⇔ {x-1}/{-2}={y-4}/{-10} ⇔ y=5x-1$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(4; 1)$ и $(8; -3)$, подставим в формулу:
${x-4}/{8-4}={y-1}/{-3-1} ⇔ {x-4}/{4}={y-1}/{-4} ⇔ y=-x+5$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=5x-1}; {y=-x+5}$ $⇔$ $\{{\table {x=1}; {y=4}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $1$.

Модуль - это расстояние, а значит величина неотрицательная. Сумма $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$ принимает наименьшее значение равное нулю в том случае, когда каждое подмодульное выражение равно нулю:
$\{{\table {3x-4y+8=0}; {3x+3y-6=0};}$
Вычтем из первого уравнения второе, получаем:
$-7y+14=0 ⇒ y=2$
Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$
Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|=0$
В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-1≥0}; {x-1≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -1]∪(1; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-1})^2}/{x-1}={x^2-1}/{x-1}={(x-1)(x+1)}/{x-1}=x+1$
3.Построим график функции $y=x+1$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $a∈(0; 2]$ прямая не имеет с графиком общих точек.

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-2x-8≥0}; {x-4≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -2]∪(4; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-2x-8})^2}/{x-4}={x^2-2x-8}/{x-4}={(x+2)(x-4)}/{x-4}=x+2$
3.Построим график функции $y=x+2$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $a∈(0; 6]$ прямая не имеет с графиком общих точек.

1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-1=0 ⇒ x=1$
$3-x=0 ⇒ x=3$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<1 ⇒ y=-(x-1)-(3-x)=-x+1-3+x=-2$
$1≤x<3 ⇒ y=+(x-1)-(3-x)=x-1-3+x=2x-4$
$x≥3 ⇒ y=+(x-1)+(3-x)=x-1+3-x=2$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-2, \text ' при ' x<1$
$y=2x-4, \text ' при ' 1≤x<3$
$y=2, \text ' при ' x≥2$
График функции изображен на рисунке:

4. По графику видно, что прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $a∈(-2; 2)$

Функция $y=ax$ и $y=x^2+1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax}; {y=x^2+1}$ $⇔$ $x^2+1=ax$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x$ и $y=2x$ являются касательными к графику функции $y=x^2+1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-4(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-4x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4x-4, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+3x-4, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-6,25$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. Упростим выражение:
$y={x-1}/{x^2-x}={x-1}/{x(x-1)}=1/x,$ при $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. Так как $x≠1 ⇒ y≠1$, следовательно точки $(1; 1)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(1; 1)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·1=1 ⇒ k=1$

4. Построим график: