Задание 22. Функции, графики и их свойства. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Постройте график функции $y=|x^2+3x-4|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
1. $p=0$
2. $p=6,25$
3. $p∈0∪(6,25; +∞)$
4. $p∈(0; 6,25)$
Решение
Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2+3x-4$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox:
По графику видно, что при $p∈0∪(6,25; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
Задача 2
Постройте график функции $y={(x^2+1)(x-1)}/{1-x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
1. Ограничение: $1-x≠0 ⇒ x≠1$
2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2+1)(x-1)}/{1-x}={(x^2+1)(x-1)}/{-(x-1)}=-(x^2+1)=-x^2-1$
3. Поскольку парабола и прямая имеют одну общую точку, система уравнений имеет 1 решение:
$\{{\table {y=-x^2-1}; {y=kx};} ⇔ -x^2-1=kx ⇔ x^2+kx+1=0$
Чтобы система имела единственное решение, данное квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть при $D=0$:
$D=k^2-4 ⇔ k^2-4=0 ⇔ k=±2$
Прямые $y=-2x$ и $y=2x$ имеют с графиком одну общую точку.
4. Обратим внимание на то, что если $ x≠1 ⇒ y≠-2$, то есть в точке $(1; -2)$ функция не существует, а значит прямая, проходящая через нее, не имеет с графиком общих точек. Найдем коэффициент $k$, подставляя данную точку в уравнение прямой $y=kx$:
$-2=k·1 ⇒ k=-2 ⇒ y=-2x$ имеет с графиком одну общую точку. Прямые из пунктов 3 и 4 совпали (такое иногда случается, все равно нужно проверять выколотую точку отдельно)
5. Таким образом, при $k=-2$ и $k=2$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции одну общую точку. Наибольшее значение: $k=2$.
6. Построим графики:
Задача 3
Постройте график функции
$y=\{{\table {x, \text ' при 'x<3}; {-2x+9, \text ' при ' 3≤x<4,5}; {2x-9,\text ' при ' x≥4,5};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=0$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
Задача 4
Постройте график функции $y=x^2-x-2|x-1|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
1. $p=-2,25$
2. $p∈(-2,25; 0)∪(0; +∞)$
3. $p∈(-2,25; -0,25)∪(0; +∞)$
4. $p∈(-0,25; 0)$
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-2(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-2x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2x-2, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-3x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2+x-2, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:
При $p∈(-2,25; -0,25)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
Задача 5
Постройте график функции $y=|x|(x+2)-4x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
1. $p=-1$
2. $p=-9$
3. $p∈(-1; 0)∪(9; +∞)$
4. $p∈(-1; 9)$
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x+2)-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+2)-4x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2+2x-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-2x-4x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-6x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:
При $p∈(-1; 9)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
Задача 6
Постройте график функции $y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$
2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$
3. Преобразуем выражение:
$y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}={(x-2)(x-1)(x-4)}/{x-1}=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$
4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠3 ⇒$ выколотая точка $(1; 3)$:
5. По графику видно, что при $a=-1$ и $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=3$.
Задача 7
Постройте график функции $y={x^4-17x^2+16}/{(x-4)(x-1)}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-17t+16=0 ⇒ t_1=1, t_2=16 ⇒ (t-1)(t-16)$
Обратная замена: $(t-1)(t-16)=(x^2-1)(x^2-16)=(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)$
2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)}/{(x-4)(x-1)}=(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$
3. Построим график функции:
4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-2,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-4)(x-1)≠0 ⇒ x≠1, x≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠10 ⇒ a=10$
Если $x≠4 ⇒ y≠40 ⇒ a=40$
Таким образом, при $a=-2,25; a=10; a=40$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $40$.
Задача 8
Постройте график функции $y=x^2-x-4|{x-1}|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-4(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-4x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4x-4, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+3x-4, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:
При $p=-6,25$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Задача 9
Постройте график функции $y=x^2-|4x|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
1. $p=0$
2. $p=-4$
3. $p∈(-4; 0)$
4. $p∈(0; +∞)$
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:
При $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.
Задача 10
Первая прямая проходит через точки с координатами $(3; 1)$ и $(5; 7)$, вторая - через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(3; 1)$ и $(5; 7)$, подставим в формулу:
${x-3}/{5-3}={y-1}/{7-1} ⇔ {x-3}/{2}={y-1}/{6} ⇔ y=3x-8$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$, подставим в формулу:
${x-1}/{5-1}={y-(-1)}/{-5-(-1)} ⇔ {x-1}/{4}={y+1}/{-4} ⇔ y=-x$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=3x-8}; {y=-x}$ $⇔$ $\{{\table {x=2}; {y=-2}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $2$.
Задача 11
Первая прямая проходит через точки с координатами $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, вторая - через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, подставим в формулу:
${x-(-5)}/{-1-(-5)}={y-4}/{-4-4} ⇔ {x+5}/{4}={y-4}/{-8} ⇔ y=-2x-6$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$, подставим в формулу:
${x-(-4)}/{2-(-4)}={y-(-1)}/{5-(-1)} ⇔ {x+4}/{6}={y+1}/{6} ⇔ y=x+3$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=-2x-6}; {y=x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-3}; {y=0}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-3$.
Задача 12
Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; -3)$ и $(10;2)$, вторая - через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(5; -3)$ и $(10;2)$, подставим в формулу:
${x-5}/{10-5}={y-(-3)}/{2-(-3)} ⇔ {x-5}/{5}={y+3}/{5} ⇔ y=x-8$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$, подставим в формулу:
${x-1}/{3-1}={y-2}/{-2-2} ⇔ {x-1}/{2}={y-2}/{-4} ⇔ y=-2x+4$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-8}; {y=-2x+4}$ $⇔$ $\{{\table {x=4}; {y=-4}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $4$.
Задача 13
При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений?
1. $a∈(0; 3)$
2. $a∈(0; 5)$
3. $a∈(3; 5)$
4. Решений нет
Решение
Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.
Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$
Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$
$a^2-8a+15<0$
$(a-3)(a-5)<0$
$a∈(3; 5)$
Задача 14
Постройте график функции ${(√{x^2-1})^2}/{x-1}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек.
1. $a=0$
2. $a=2$
3. $a∈(0; 2]$
4. $a∈(2; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.
Решение
1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-1≥0}; {x-1≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -1]∪(1; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-1})^2}/{x-1}={x^2-1}/{x-1}={(x-1)(x+1)}/{x-1}=x+1$
3.Построим график функции $y=x+1$, учитывая область определения:
4.Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $a∈(0; 2]$ прямая не имеет с графиком общих точек.
Задача 15
Постройте график функции ${(√{x^2-x-6})^2}/{x+2}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком данной функции общих точек.
1. $m∈[-5; 0)$
2. $m=-5$
3. $m=0$
4. $m∈(0; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.
Решение
1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-x-6≥0}; {x+2≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -2)∪[3; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-x-6})^2}/{x+2}={x^2-x-6}/{x+2}={(x+2)(x-3)}/{x+2}=x-3$
3.Построим график функции $y=x-3$, учитывая область определения:
4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-5; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.
Задача 16
Постройте график функции $y={|x-1|}-{|3-x|}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
1. $a=-2$
2. $a=2$
3. $a∈(-2; 2)$
4. $a∈(2; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.
Решение
1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-1=0 ⇒ x=1$
$3-x=0 ⇒ x=3$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<1 ⇒ y=-(x-1)-(3-x)=-x+1-3+x=-2$
$1≤x<3 ⇒ y=+(x-1)-(3-x)=x-1-3+x=2x-4$
$x≥3 ⇒ y=+(x-1)+(3-x)=x-1+3-x=2$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-2, \text ' при ' x<1$
$y=2x-4, \text ' при ' 1≤x<3$
$y=2, \text ' при ' x≥2$
График функции изображен на рисунке:
4. По графику видно, что прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $a∈(-2; 2)$
Задача 17
Постройте график функции
$y=\{{\table {3x, \text ' при 'x<1}; {-6x+9, \text ' при ' 1≤x<2}; {x-5,\text ' при ' x≥2};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=-3$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=3$.
Задача 18
Постройте график функции
$y=\{{\table {x+3, \text ' при 'x<-2,5}; {-x-2, \text ' при ' -2,5≤x<1,5}; {x-5,\text ' при ' x≥1,5};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=-3,5$ и $a=0,5$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.
Задача 19
Постройте график функции
$y=\{{\table {1/2x+1, \text ' при 'x<2}; {-2x+6, \text ' при ' 2≤x<3}; {4x-12,\text ' при ' x≥3};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=0$ и $a=2$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.
Задача 20
Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; 2)$ и $(8; 5)$, вторая - через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(5; 2)$ и $(8; 5)$, подставим в формулу:
${x-5}/{8-5}={y-2}/{5-2} ⇔ {x-5}/{3}={y-2}/{3} ⇔ y=x-3$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$, подставим в формулу:
${x-(-3)}/{0-(-3)}={y-(-9)}/{3-(-9)} ⇔ {x+3}/{3}={y+9}/{12} ⇔ y=4x+3$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-3}; {y=4x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-2}; {y=-5}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-2$.
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ОГЭ
