1. Ограничение: $x^3+x^2≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^5+x^4}/{x^3+x^2}-3={x^2(x^3+x^2)}/{x^3+x^2}-3=x^2-3$
3. Построим график функции $y=x^2-3$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠-2$
Если $x≠0 ⇒ y≠-3$
5. По графику видно, что при $a=-2$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. Упростим выражение:
$y={4x+10}/{4x^2+10x}={4x+10}/{x(4x+10)}=1/x,$ при $4x+10≠0 ⇒ x≠-2,5$

2. Так как $x≠-2,5 ⇒ y≠-2/5$, следовательно точки $(-2,5; -2/5)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2,5; -2/5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2,5)=-2/5 ⇒ k=4/25=0,16$

4. Построим график:

Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2-x-6$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox:

По графику видно, что при $p=6,25$ прямая $y=6,25$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(5; 2)$ и $(8; 5)$, подставим в формулу:
${x-5}/{8-5}={y-2}/{5-2} ⇔ {x-5}/{3}={y-2}/{3} ⇔ y=x-3$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$, подставим в формулу:
${x-(-3)}/{0-(-3)}={y-(-9)}/{3-(-9)} ⇔ {x+3}/{3}={y+9}/{12} ⇔ y=4x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-3}; {y=4x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-2}; {y=-5}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-2$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(1; 4)$ и $(-1; -6)$, подставим в формулу:
${x-1}/{-1-1}={y-4}/{-6-4} ⇔ {x-1}/{-2}={y-4}/{-10} ⇔ y=5x-1$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(4; 1)$ и $(8; -3)$, подставим в формулу:
${x-4}/{8-4}={y-1}/{-3-1} ⇔ {x-4}/{4}={y-1}/{-4} ⇔ y=-x+5$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=5x-1}; {y=-x+5}$ $⇔$ $\{{\table {x=1}; {y=4}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $1$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, подставим в формулу:
${x-(-5)}/{-1-(-5)}={y-4}/{-4-4} ⇔ {x+5}/{4}={y-4}/{-8} ⇔ y=-2x-6$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$, подставим в формулу:
${x-(-4)}/{2-(-4)}={y-(-1)}/{5-(-1)} ⇔ {x+4}/{6}={y+1}/{6} ⇔ y=x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=-2x-6}; {y=x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-3}; {y=0}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-3$.

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-8x+15≥0}; {x-3≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; 3)∪[5; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-8x+15})^2}/{x-3}={x^2-8x+15}/{x-3}={(x-3)(x-5)}/{x-3}=x-5$
3.Построим график функции $y=x-5$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-2; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.

1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-6=0 ⇒ x=6$
$x+4=0 ⇒ x=-4$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<-4 ⇒ y=-(x-6)+(x+4)+x+1=-x+6+x+4+x+1=x+11$
$-4≤x<6 ⇒ y=-(x-6)-(x+4)+x+1=-x+6-x-4+x+1=-x+3$
$x≥6 ⇒ y=+(x-6)-(x+4)+x+1=x-6-x-4+x+1=x-9$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=x+11, \text ' при ' x<-4$
$y=-x+3, \text ' при ' -4≤x<6$
$y=x-9, \text ' при ' x≥6$
График функции изображен на рисунке:

4. По графику видно, что прямая $y=a$ имеет с графиком данной функции ровно две общие точки при $a=-3$ и $a=7$

1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-2=0 ⇒ x=2$
$x+1=0 ⇒ x=-1$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<-1 ⇒ y=-(x-2)-(x+1)=-x+2-x-1=-2x+1$
$-1≤x<2 ⇒ y=-(x-2)+(x+1)=-x+2+x+1=3$
$x≥2 ⇒ y=+(x-2)+(x+1)=x-2+x+1=2x-1$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-2x+1, \text ' при ' x<-1$
$y=3, \text ' при ' -1≤x<2$
$y=2x-1, \text ' при ' x≥2$
График функции изображен на рисунке:

4. По графику видно, что прямая $y=a$ не имеет с графиком общих точек при $a∈(-∞; 3)$

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=-3,5$ и $a=0,5$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+4, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-1$ и $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. Наибольшее такое значение: $p=0$.

1. Ограничение: $x^8+x^7≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y=-1+{x^10+x^9}/{x^8+x^7}=-1+{x^2(x^8+x^7)}/{x^8+x^7}=-1+x^2=x^2-1$
3. Построим график функции $y=x^2-1$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠0$
Если $x≠0 ⇒ y≠-1$
5. По графику видно, что при $a=0$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-2=0 ⇒ x=2$
$x-4=0 ⇒ x=4$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<2 ⇒ y=-(x-2)-(x-4)-x-2=-x+2-x+4-x-2=-3x+4$
$2≤x<4 ⇒ y=+(x-2)-(x-4)-x-2=x-2-x+4-x-2=-x$
$x≥4 ⇒ y=+(x-2)+(x-4)-x-2=x-2+x-4-x-2=x-8$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-3x+4, \text ' при ' x<2$
$y=-x, \text ' при ' 2≤x<5$
$y=x-8, \text ' при ' x≥5$
График функции изображен на рисунке:

4. По графику видно, что прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $a=-4$

1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}={(x-2)(x-1)(x-4)}/{x-1}=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠3 ⇒$ выколотая точка $(1; 3)$:


5. По графику видно, что при $a=-1$ и $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=3$.