Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(5; 2)$ и $(8; 5)$, подставим в формулу:
${x-5}/{8-5}={y-2}/{5-2} ⇔ {x-5}/{3}={y-2}/{3} ⇔ y=x-3$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$, подставим в формулу:
${x-(-3)}/{0-(-3)}={y-(-9)}/{3-(-9)} ⇔ {x+3}/{3}={y+9}/{12} ⇔ y=4x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-3}; {y=4x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-2}; {y=-5}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-2$.

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-8x+15≥0}; {x-3≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; 3)∪[5; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-8x+15})^2}/{x-3}={x^2-8x+15}/{x-3}={(x-3)(x-5)}/{x-3}=x-5$
3.Построим график функции $y=x-5$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-2; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=4$ и $a=6$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=6$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-2(x-1)-2x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+2(x-1)-2x+4, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x+2-2x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+2x-2-2x+4, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-4x+6, \text ' при ' x≥1}; {x^2+2, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=3$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-4(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-4x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4x-4, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+3x-4, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-6,25$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. Упростим выражение:
$y=-{x+2}/{x^2+2x}+1=-{x+2}/{x(x+2)}+1=-1/x+1$ при $x+2≠0 ⇒ x≠-2$

2. Так как $x≠-2 ⇒ y≠1,5$, следовательно точки $(-2; 1,5)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2; 1,5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2)=1,5 ⇒ k=-3/4=-0,75$

4. Построим график:

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x+1)-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+1)-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2+x-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-x-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-1$ и $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.
Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$
Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$
$a^2-8a+15<0$
$(a-3)(a-5)<0$
$a∈(3; 5)$

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+4, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=3$ и $a=7$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=7$.

Модуль - это расстояние, а значит величина неотрицательная. Сумма $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$ принимает наименьшее значение равное нулю в том случае, когда каждое подмодульное выражение равно нулю:
$\{{\table {3x-4y+8=0}; {3x+3y-6=0};}$
Вычтем из первого уравнения второе, получаем:
$-7y+14=0 ⇒ y=2$
Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$
Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|=0$
В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-1=0 ⇒ x=1$
$3-x=0 ⇒ x=3$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<1 ⇒ y=-(x-1)-(3-x)=-x+1-3+x=-2$
$1≤x<3 ⇒ y=+(x-1)-(3-x)=x-1-3+x=2x-4$
$x≥3 ⇒ y=+(x-1)+(3-x)=x-1+3-x=2$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-2, \text ' при ' x<1$
$y=2x-4, \text ' при ' 1≤x<3$
$y=2, \text ' при ' x≥2$
График функции изображен на рисунке:

4. По графику видно, что прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $a∈(-2; 2)$

1. Упростим выражение:
$y={x-1}/{x^2-x}={x-1}/{x(x-1)}=1/x,$ при $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. Так как $x≠1 ⇒ y≠1$, следовательно точки $(1; 1)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(1; 1)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·1=1 ⇒ k=1$

4. Построим график:

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-10t+9=0 ⇒ t_1=1, t_2=9 ⇒ (t-1)(t-9)$
Обратная замена: $(t-1)(t-9)=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}/{(x-1)(x+1)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-9$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x+1)≠0 ⇒ x≠-1, x≠1$
Если $x≠-1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Отметим, что в данных точках прямая не имеет с графиком общих точек вообще, поэтому мы просто выкалываем их на графике, не указывая в ответе.
Таким образом, при $a=-9$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $-9$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, подставим в формулу:
${x-(-5)}/{-1-(-5)}={y-4}/{-4-4} ⇔ {x+5}/{4}={y-4}/{-8} ⇔ y=-2x-6$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$, подставим в формулу:
${x-(-4)}/{2-(-4)}={y-(-1)}/{5-(-1)} ⇔ {x+4}/{6}={y+1}/{6} ⇔ y=x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=-2x-6}; {y=x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-3}; {y=0}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-3$.