Задание 22. Функции, графики и их свойства. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Постройте график функции $y={|x-2|}+{|x+1|}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек.
1. $a=1$
2. $a=3$
3. $a∈(-∞; 3)$
4. $a∈(3; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.
Решение
1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-2=0 ⇒ x=2$
$x+1=0 ⇒ x=-1$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<-1 ⇒ y=-(x-2)-(x+1)=-x+2-x-1=-2x+1$
$-1≤x<2 ⇒ y=-(x-2)+(x+1)=-x+2+x+1=3$
$x≥2 ⇒ y=+(x-2)+(x+1)=x-2+x+1=2x-1$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-2x+1, \text ' при ' x<-1$
$y=3, \text ' при ' -1≤x<2$
$y=2x-1, \text ' при ' x≥2$
График функции изображен на рисунке:
4. По графику видно, что прямая $y=a$ не имеет с графиком общих точек при $a∈(-∞; 3)$
Задача 2
Постройте график функции $y=-{x+2}/{x^2+2x}+1$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Упростим выражение:
$y=-{x+2}/{x^2+2x}+1=-{x+2}/{x(x+2)}+1=-1/x+1$ при $x+2≠0 ⇒ x≠-2$
2. Так как $x≠-2 ⇒ y≠1,5$, следовательно точки $(-2; 1,5)$ на графике функции не существует
3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2; 1,5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2)=1,5 ⇒ k=-3/4=-0,75$
4. Построим график:
Задача 3
Постройте график функции $y={x-1}/{x^2-x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Упростим выражение:
$y={x-1}/{x^2-x}={x-1}/{x(x-1)}=1/x,$ при $x-1≠0 ⇒ x≠1$
2. Так как $x≠1 ⇒ y≠1$, следовательно точки $(1; 1)$ на графике функции не существует
3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(1; 1)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·1=1 ⇒ k=1$
4. Построим график:
Задача 4
Постройте график функции $y=x^2-4|x|-2x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-4x-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x-2x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-6x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+2x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:
При $p=-9$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Задача 5
Постройте график функции $y=x^2-x-2|x-1|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
1. $p=-2,25$
2. $p∈(-2,25; 0)∪(0; +∞)$
3. $p∈(-2,25; -0,25)∪(0; +∞)$
4. $p∈(-0,25; 0)$
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-2(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-2x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2x-2, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-3x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2+x-2, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:
При $p∈(-2,25; -0,25)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
Задача 6
Постройте график функции $y=x^2-3|x|+x$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:
При $p=-1$ и $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. Наибольшее такое значение: $p=0$.
Задача 7
Постройте график функции $y=|x^2+3x-4|$ и определите, при каких значениях $p$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
1. $p=0$
2. $p=6,25$
3. $p∈0∪(6,25; +∞)$
4. $p∈(0; 6,25)$
Решение
Под модулем находится вся квадратичная функция, поэтому достаточно построить график функции $y=x^2+3x-4$ с помощью определения вершины параболы, нулей функции и дополнительных точек и отразить относительно оси Ox:
По графику видно, что при $p∈0∪(6,25; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.
Задача 8
Первая прямая проходит через точки с координатами $(5; 2)$ и $(8; 5)$, вторая - через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(5; 2)$ и $(8; 5)$, подставим в формулу:
${x-5}/{8-5}={y-2}/{5-2} ⇔ {x-5}/{3}={y-2}/{3} ⇔ y=x-3$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(-3; -9)$ и $(0; 3)$, подставим в формулу:
${x-(-3)}/{0-(-3)}={y-(-9)}/{3-(-9)} ⇔ {x+3}/{3}={y+9}/{12} ⇔ y=4x+3$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-3}; {y=4x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-2}; {y=-5}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-2$.
Задача 9
При каком наибольшем значении $a$ прямая $y=ax-2$ имеет с графиком функции $y=x^2-1$ ровно одну общую точку (касается)? Построить график квадратичной функции и касательные к нему.
Решение
Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:
Наибольшее значение: $a=2$.
Задача 10
При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2$? В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю:
$\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$
Сложим первое уравнение со вторым, получаем:
$2y-4=0 ⇒ y=2$
Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$
Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$
В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.
Задача 11
При каком значении переменных $x$ и $y$ достигается наименьшее значение данного выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$? В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Модуль - это расстояние, а значит величина неотрицательная. Сумма $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|$ принимает наименьшее значение равное нулю в том случае, когда каждое подмодульное выражение равно нулю:
$\{{\table {3x-4y+8=0}; {3x+3y-6=0};}$
Вычтем из первого уравнения второе, получаем:
$-7y+14=0 ⇒ y=2$
Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$
Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $|3x-4y+8|+|3x+3y-6|=0$
В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.
Задача 12
При каких значениях $a$ неравенство $x^2+(a-6)x+21/4-a≤0$ не имеет решений?
1. $a∈(0; 3)$
2. $a∈(0; 5)$
3. $a∈(3; 5)$
4. Решений нет
Решение
Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.
Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$
Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$
$a^2-8a+15<0$
$(a-3)(a-5)<0$
$a∈(3; 5)$
Задача 13
Постройте график функции ${(√{x^2-8x+15})^2}/{x-3}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек.
1. $a=0$
2. $a=-2$
3. $a∈[-2; 0)$
4. $a∈(0; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.
Решение
1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-8x+15≥0}; {x-3≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; 3)∪[5; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-8x+15})^2}/{x-3}={x^2-8x+15}/{x-3}={(x-3)(x-5)}/{x-3}=x-5$
3.Построим график функции $y=x-5$, учитывая область определения:
4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-2; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.
Задача 14
Постройте график функции ${(√{x^2-2x-8})^2}/{x-4}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек.
1. $a=0$
2. $a=6$
3. $a∈(0; 6]$
4. $a∈(0; +∞)$
В ответ запишите номер верного варианта ответа.
Решение
1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-2x-8≥0}; {x-4≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -2]∪(4; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-2x-8})^2}/{x-4}={x^2-2x-8}/{x-4}={(x+2)(x-4)}/{x-4}=x+2$
3.Построим график функции $y=x+2$, учитывая область определения:
4.Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $a∈(0; 6]$ прямая не имеет с графиком общих точек.
Задача 15
Постройте график функции $y=\{{\table {1/2x+1, \text ' при 'x<2}; {-2x+6, \text ' при ' 2≤x<3}; {4x-12,\text ' при ' x≥3};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.
В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=0$ и $a=2$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.
Задача 16
Постройте график функции $y=\{{\table {x, \text ' при 'x<3}; {-2x+9, \text ' при ' 3≤x<4,5}; {2x-9,\text ' при ' x≥4,5};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.
В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=0$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=3$.
Задача 17
Постройте график функции $y=\{{\table {-x+5, \text ' при 'x<2}; {2x-1, \text ' при ' 2≤x<4}; {-x+11,\text ' при ' x≥4};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.
В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=3$ и $a=7$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=7$.
Задача 18
Постройте график функции $y=\{{\table {4x-2, \text ' при 'x<2}; {-x+8, \text ' при ' 2≤x<4}; {2x-4,\text ' при ' x≥4};}$ и определите, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно 2 общие точки.
В ответ запишите наибольшее такое значение.
Решение
Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:
По графику видно, что при $a=4$ и $a=6$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=6$.
Задача 19
Первая прямая проходит через точки с координатами $(3; 1)$ и $(5; 7)$, вторая - через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$. Найдите координату точки пересечения данных прямых. В ответ запишите значение переменной $x$.
Решение
Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
1. Первая прямая проходит через точки $(3; 1)$ и $(5; 7)$, подставим в формулу:
${x-3}/{5-3}={y-1}/{7-1} ⇔ {x-3}/{2}={y-1}/{6} ⇔ y=3x-8$ - уравнение 1 прямой
2. Вторая прямая проходит через точки $(1; -1)$ и $(5; -5)$, подставим в формулу:
${x-1}/{5-1}={y-(-1)}/{-5-(-1)} ⇔ {x-1}/{4}={y+1}/{-4} ⇔ y=-x$ - уравнение 2 прямой
3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=3x-8}; {y=-x}$ $⇔$ $\{{\table {x=2}; {y=-2}$
4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $2$.
Задача 20
Постройте график функции $y={4x+10}/{4x^2+10x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
Решение
1. Упростим выражение:
$y={4x+10}/{4x^2+10x}={4x+10}/{x(4x+10)}=1/x,$ при $4x+10≠0 ⇒ x≠-2,5$
2. Так как $x≠-2,5 ⇒ y≠-2/5$, следовательно точки $(-2,5; -2/5)$ на графике функции не существует
3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2,5; -2/5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2,5)=-2/5 ⇒ k=4/25=0,16$
4. Построим график:
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
