Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-4x-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x-2x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-6x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+2x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-9$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-8x+15≥0}; {x-3≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; 3)∪[5; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-8x+15})^2}/{x-3}={x^2-8x+15}/{x-3}={(x-3)(x-5)}/{x-3}=x-5$
3.Построим график функции $y=x-5$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-2; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-4(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-4x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4x-4, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+3x-4, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-6,25$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. Ограничение: $x^3+x^2≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^5+x^4}/{x^3+x^2}-3={x^2(x^3+x^2)}/{x^3+x^2}-3=x^2-3$
3. Построим график функции $y=x^2-3$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠-2$
Если $x≠0 ⇒ y≠-3$
5. По графику видно, что при $a=-2$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+6x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p∈(-9; -4)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x+2)-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+2)-4x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2+2x-4x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-2x-4x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-6x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p∈(-1; 9)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

1. Ограничение: $x^2+x≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^4+x^3}/{x^2+x}+2={x^2(x^2+x)}/{x^2+x}+2=x^2+2$
3. Построим график функции $y=x^2+2$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠3$
Если $x≠0 ⇒ y≠2$
5. По графику видно, что при $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=-3$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=3$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Сумма квадратов двух чисел принимает наименьшее значение, равное нулю, только в том случае, когда каждое выражение равно нулю:
$\{{\table {-x+3y-6=0}; {x-y+2=0}$
Сложим первое уравнение со вторым, получаем:
$2y-4=0 ⇒ y=2$
Подставим значение $y=2$ в первое уравнение и получим $x=0$
Таким образом при $x=0$ и $y=2$ достигается наименьшее значение выражения $(-x+3y-6)^2+(x-y+2)^2=0$
В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $0$.

Функция $y=ax$ и $y=x^2+1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax}; {y=x^2+1}$ $⇔$ $x^2+1=ax$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x$ и $y=2x$ являются касательными к графику функции $y=x^2+1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

1. Упростим выражение:
$y={x-1}/{x^2-x}={x-1}/{x(x-1)}=1/x,$ при $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. Так как $x≠1 ⇒ y≠1$, следовательно точки $(1; 1)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(1; 1)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·1=1 ⇒ k=1$

4. Построим график:

1. Ограничение: $x^8+x^7≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y=-1+{x^10+x^9}/{x^8+x^7}=-1+{x^2(x^8+x^7)}/{x^8+x^7}=-1+x^2=x^2-1$
3. Построим график функции $y=x^2-1$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠0$
Если $x≠0 ⇒ y≠-1$
5. По графику видно, что при $a=0$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим каждую скобку на множители:
$x^2-4x+3=0 ⇒ x_1=1, x_2=3 ⇒x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
$x^2-x-12=0 ⇒ x_1=-3, x_2=4 ⇒x^2-x-12=(x+3)(x-4)$
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2-4x+3)(x^2-x-12)}/{x^2-5x+4}={(x-1)(x-3)(x+3)(x-4)}/{(x-1)(x-4)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Ограничения: $x^2-5x+4≠0 ⇒ x_1≠1, x_2≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠4 ⇒ y≠7$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точки $(1; -8)$ и $(4; 7)$:


5. По графику видно, что при $a=-9$, $a=-8$ и $a=7$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=-4$.