1. Ограничения: $x-2≠0 ⇒ x≠2$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2+x-6=0 ⇒ x_1=-3, x_2=2 ⇒x^2+x-6=(x+3)(x-2)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(1-x)(x^2+x-6)}/{x-2}={(1-x)(x+3)(x-2)}/{x-2}=(1-x)(x+3)=-x^2-2x+3$

4. Построим график функции $y=-x^2-2x+3$ и выколем на нем точку $x≠2 ⇒ y≠-5 ⇒$ выколотая точка $(2; -5)$:


5. По графику видно, что при $a=-5$ и $a=4$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=4$.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-10t+9=0 ⇒ t_1=1, t_2=9 ⇒ (t-1)(t-9)$
Обратная замена: $(t-1)(t-9)=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}/{(x-1)(x+1)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-9$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x+1)≠0 ⇒ x≠-1, x≠1$
Если $x≠-1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Отметим, что в данных точках прямая не имеет с графиком общих точек вообще, поэтому мы просто выкалываем их на графике, не указывая в ответе.
Таким образом, при $a=-9$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $-9$.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-17t+16=0 ⇒ t_1=1, t_2=16 ⇒ (t-1)(t-16)$
Обратная замена: $(t-1)(t-16)=(x^2-1)(x^2-16)=(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)}/{(x-4)(x-1)}=(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-2,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-4)(x-1)≠0 ⇒ x≠1, x≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠10 ⇒ a=10$
Если $x≠4 ⇒ y≠40 ⇒ a=40$
Таким образом, при $a=-2,25; a=10; a=40$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $40$.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+4, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x-1)-5x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x-1)-5x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-5x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2+x-5x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-6x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-9$ и $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, подставим в формулу:
${x-(-5)}/{-1-(-5)}={y-4}/{-4-4} ⇔ {x+5}/{4}={y-4}/{-8} ⇔ y=-2x-6$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$, подставим в формулу:
${x-(-4)}/{2-(-4)}={y-(-1)}/{5-(-1)} ⇔ {x+4}/{6}={y+1}/{6} ⇔ y=x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=-2x-6}; {y=x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-3}; {y=0}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-3$.

Квадратичная функция $y=x^2+(a-6)x+21/4-a$ является параболой, ветви которой направлены вверх $(a>0)$. Чтобы неравенство не имело решений, необходимо, чтобы график функции располагался выше оси х, то есть не пересекал ее. Это возможно в том случае, когда дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.
Коэффициенты: $a=1; b=a-6; c=21/4-a$
Дискриминант: $D=b^2-4ac=(a-6)^2-4·(21/4-a)=a^2-12a+36-21+4a=a^2-8a+15$
$a^2-8a+15<0$
$(a-3)(a-5)<0$
$a∈(3; 5)$

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-x-6≥0}; {x+2≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -2)∪[3; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-x-6})^2}/{x+2}={x^2-x-6}/{x+2}={(x+2)(x-3)}/{x+2}=x-3$
3.Построим график функции $y=x-3$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-5; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.

1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-1=0 ⇒ x=1$
$3-x=0 ⇒ x=3$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<1 ⇒ y=-(x-1)-(3-x)=-x+1-3+x=-2$
$1≤x<3 ⇒ y=+(x-1)-(3-x)=x-1-3+x=2x-4$
$x≥3 ⇒ y=+(x-1)+(3-x)=x-1+3-x=2$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-2, \text ' при ' x<1$
$y=2x-4, \text ' при ' 1≤x<3$
$y=2, \text ' при ' x≥2$
График функции изображен на рисунке:

4. По графику видно, что прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $a∈(-2; 2)$

1. Найдем нуль каждого модуля:
$x-2=0 ⇒ x=2$
$x+1=0 ⇒ x=-1$
2. Раскроем модуль на каждом промежутке:
$x<-1 ⇒ y=-(x-2)-(x+1)=-x+2-x-1=-2x+1$
$-1≤x<2 ⇒ y=-(x-2)+(x+1)=-x+2+x+1=3$
$x≥2 ⇒ y=+(x-2)+(x+1)=x-2+x+1=2x-1$
3. Построим графики данных функций при заданных ограничениях на x:
$y=-2x+1, \text ' при ' x<-1$
$y=3, \text ' при ' -1≤x<2$
$y=2x-1, \text ' при ' x≥2$
График функции изображен на рисунке:

4. По графику видно, что прямая $y=a$ не имеет с графиком общих точек при $a∈(-∞; 3)$

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=0$ и $a=2$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=0$ и $a=3$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.

1. Упростим выражение:
$y={2x+6}/{2x^2+6x}={2x+6}/{x(2x+6)}=1/x,$ при $2x+6≠0 ⇒ x≠-3$

2. Так как $x≠-3 ⇒ y≠-1/3$, следовательно точки $(-3; -1/3)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-3; -1/3)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-3)=-1/3 ⇒ k=1/9$

4. Построим график:

5. В 3 пункте был найден коэффициент $k=1/9$. В ответ необходимо записать знаменатель данного коэффициента, то есть число 9.

1. Ограничение: $x^8+x^7≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y=-1+{x^10+x^9}/{x^8+x^7}=-1+{x^2(x^8+x^7)}/{x^8+x^7}=-1+x^2=x^2-1$
3. Построим график функции $y=x^2-1$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠0$
Если $x≠0 ⇒ y≠-1$
5. По графику видно, что при $a=0$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.