Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-2(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-2x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+2x-2, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-3x+2, \text ' при ' x≥1}; {x^2+x-2, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:

При $p∈(-2,25; -0,25)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

1. Упростим выражение:
$y=-{x+2}/{x^2+2x}+1=-{x+2}/{x(x+2)}+1=-1/x+1$ при $x+2≠0 ⇒ x≠-2$

2. Так как $x≠-2 ⇒ y≠1,5$, следовательно точки $(-2; 1,5)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2; 1,5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2)=1,5 ⇒ k=-3/4=-0,75$

4. Построим график:

1. Ограничение: $x^2+x≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^4+x^3}/{x^2+x}+2={x^2(x^2+x)}/{x^2+x}+2=x^2+2$
3. Построим график функции $y=x^2+2$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠3$
Если $x≠0 ⇒ y≠2$
5. По графику видно, что при $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x-1)-5x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x-1)-5x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-5x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2+x-5x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-6x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-9$ и $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-x-6≥0}; {x+2≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -2)∪[3; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-x-6})^2}/{x+2}={x^2-x-6}/{x+2}={(x+2)(x-3)}/{x+2}=x-3$
3.Построим график функции $y=x-3$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-5; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=3$ и $a=7$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-5x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+5x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-4x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+6x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p∈(-9; -4)∪(0; +∞)$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

1. Упростим выражение:
$y={x-1}/{x^2-x}={x-1}/{x(x-1)}=1/x,$ при $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. Так как $x≠1 ⇒ y≠1$, следовательно точки $(1; 1)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(1; 1)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·1=1 ⇒ k=1$

4. Построим график:

1. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим каждую скобку на множители:
$x^2-4x+3=0 ⇒ x_1=1, x_2=3 ⇒x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
$x^2-x-12=0 ⇒ x_1=-3, x_2=4 ⇒x^2-x-12=(x+3)(x-4)$
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2-4x+3)(x^2-x-12)}/{x^2-5x+4}={(x-1)(x-3)(x+3)(x-4)}/{(x-1)(x-4)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Ограничения: $x^2-5x+4≠0 ⇒ x_1≠1, x_2≠4$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠4 ⇒ y≠7$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точки $(1; -8)$ и $(4; 7)$:


5. По графику видно, что при $a=-9$, $a=-8$ и $a=7$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=-4$.

1. Ограничения: $x-2≠0 ⇒ x≠2$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2+x-6=0 ⇒ x_1=-3, x_2=2 ⇒x^2+x-6=(x+3)(x-2)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(1-x)(x^2+x-6)}/{x-2}={(1-x)(x+3)(x-2)}/{x-2}=(1-x)(x+3)=-x^2-2x+3$

4. Построим график функции $y=-x^2-2x+3$ и выколем на нем точку $x≠2 ⇒ y≠-5 ⇒$ выколотая точка $(2; -5)$:


5. По графику видно, что при $a=-5$ и $a=4$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=4$.

1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2+4x-5=0 ⇒ x_1=-5, x_2=1 ⇒x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(1-x)(x^2+4x-5)}/{x-1}={(1-x)(x+5)(x-1)}/{x-1}=(1-x)(x+5)=-x^2-4x+5$

4. Построим график функции $y=-x^2-4x+5$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠0 ⇒$ выколотая точка $(1; 0)$:


5. По графику видно, что при $a=0$ и $a=9$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=9$.

1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}={(x-2)(x-1)(x-4)}/{x-1}=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠3 ⇒$ выколотая точка $(1; 3)$:


5. По графику видно, что при $a=-1$ и $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=3$.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-5t+4=0 ⇒ t_1=1, t_2=4 ⇒ (t-1)(t-4)$
Обратная замена: $(t-1)(t-4)=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}/{(x-1)(x-2)}=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-0,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x-2)≠0 ⇒ x≠1, x≠2$
Если $x≠1 ⇒ y≠6 ⇒ a=6$
Если $x≠2 ⇒ y≠12 ⇒ a=12$
Таким образом, при $a=-0,25; a=6; a=12$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $12$.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=1$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-x-4(x-1), \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4(x-1), \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-4x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2-x+4x-4, \text ' при ' x<1}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-5x+4, \text ' при ' x≥1}; {x^2+3x-4, \text ' при ' x<1}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-6,25$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.