1.Найдем область определения функции:
$\{{\table {x^2-x-6≥0}; {x+2≠0};}$
Решая первое неравенство методом интервалов и объединяя решения со вторым неравенством, получаем: $x∈(-∞; -2)∪[3; +∞)$
2.Преобразуем выражение:
$y={(√{x^2-x-6})^2}/{x+2}={x^2-x-6}/{x+2}={(x+2)(x-3)}/{x+2}=x-3$
3.Построим график функции $y=x-3$, учитывая область определения:

4.Определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком функции общих точек:
Данная прямая - прямая, параллельная оси х. По графику видно, что при $m∈[-5; 0)$ прямая не имеет с графиком общих точек.

Данная функция является кусочно-непрерывной, ее график состоит из 3 прямых, которые строятся с помощью таблицы значений при указанных значениях $x$. График функции изображен на рисунке:

По графику видно, что при $a=-3,5$ и $a=0,5$ прямая $y=a$, то есть прямая параллельная оси x, имеет с графиком функции две общие точки.
В ответ необходимо записать наибольшее значение а, то есть $a=2$.

Функция $y=ax$ и $y=x^2+1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax}; {y=x^2+1}$ $⇔$ $x^2+1=ax$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x$ и $y=2x$ являются касательными к графику функции $y=x^2+1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(-5; 4)$ и $(-1; -4)$, подставим в формулу:
${x-(-5)}/{-1-(-5)}={y-4}/{-4-4} ⇔ {x+5}/{4}={y-4}/{-8} ⇔ y=-2x-6$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(-4; -1)$ и $(2; 5)$, подставим в формулу:
${x-(-4)}/{2-(-4)}={y-(-1)}/{5-(-1)} ⇔ {x+4}/{6}={y+1}/{6} ⇔ y=x+3$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=-2x-6}; {y=x+3}$ $⇔$ $\{{\table {x=-3}; {y=0}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $-3$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x^2-3x+x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+3x+x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {x^2+4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-1$ и $p=0$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно три общие точки. Наибольшее такое значение: $p=0$.

1. Упростим выражение:
$y={4x+10}/{4x^2+10x}={4x+10}/{x(4x+10)}=1/x,$ при $4x+10≠0 ⇒ x≠-2,5$

2. Так как $x≠-2,5 ⇒ y≠-2/5$, следовательно точки $(-2,5; -2/5)$ на графике функции не существует

3. Прямая $y=kx$ будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку в том случае, когда пройдет через точку с координатой $(-2,5; -2/5)$. Определим коэффициент $k$ линейной функции путем подстановки точки в уравнение прямой:
$k·(-2,5)=-2/5 ⇒ k=4/25=0,16$

4. Построим график:

1. Ограничение: $1-x≠0 ⇒ x≠1$

2. Преобразуем выражение:
$y={(x^2+1)(x-1)}/{1-x}={(x^2+1)(x-1)}/{-(x-1)}=-(x^2+1)=-x^2-1$

3. Поскольку парабола и прямая имеют одну общую точку, система уравнений имеет 1 решение:
$\{{\table {y=-x^2-1}; {y=kx};} ⇔ -x^2-1=kx ⇔ x^2+kx+1=0$
Чтобы система имела единственное решение, данное квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть при $D=0$:
$D=k^2-4 ⇔ k^2-4=0 ⇔ k=±2$
Прямые $y=-2x$ и $y=2x$ имеют с графиком одну общую точку.

4. Обратим внимание на то, что если $ x≠1 ⇒ y≠-2$, то есть в точке $(1; -2)$ функция не существует, а значит прямая, проходящая через нее, не имеет с графиком общих точек. Найдем коэффициент $k$, подставляя данную точку в уравнение прямой $y=kx$:
$-2=k·1 ⇒ k=-2 ⇒ y=-2x$ имеет с графиком одну общую точку. Прямые из пунктов 3 и 4 совпали (такое иногда случается, все равно нужно проверять выколотую точку отдельно)

5. Таким образом, при $k=-2$ и $k=2$ прямая $y=kx$ имеет с графиком функции одну общую точку. Наибольшее значение: $k=2$.

6. Построим графики:

1. Ограничения: $x-1≠0 ⇒ x≠1$

2. С помощью формулы $ax^2+bx+c=a·(x-x_1)(x-x_2)$ разложим вторую скобку числителя на множители:
$x^2-5x+4=0 ⇒ x_1=1, x_2=4 ⇒x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$

3. Преобразуем выражение:
$y={(x-2)(x^2-5x+4)}/{x-1}={(x-2)(x-1)(x-4)}/{x-1}=(x-2)(x-4)=x^2-6x+8$

4. Построим график функции $y=x^2-6x+8$ и выколем на нем точку $x≠1 ⇒ y≠3 ⇒$ выколотая точка $(1; 3)$:


5. По графику видно, что при $a=-1$ и $a=3$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
По условию необходимо занимать наибольшее такое значение, то есть $a=3$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x+1)-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x+1)-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2+x-3x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-x-3x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-2x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-1$ и $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

1. Ограничение: $x^3+x^2≠0 ⇒ x≠-1; x≠0$
2. Преобразуем выражение:
$y={x^5+x^4}/{x^3+x^2}-3={x^2(x^3+x^2)}/{x^3+x^2}-3=x^2-3$
3. Построим график функции $y=x^2-3$

4. Выколем на графике точки, в которых функция не существует:
Если $x≠-1 ⇒ y≠-2$
Если $x≠0 ⇒ y≠-3$
5. По графику видно, что при $a=-2$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-10t+9=0 ⇒ t_1=1, t_2=9 ⇒ (t-1)(t-9)$
Обратная замена: $(t-1)(t-9)=(x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}/{(x-1)(x+1)}=(x-3)(x+3)=x^2-9$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-9$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x+1)≠0 ⇒ x≠-1, x≠1$
Если $x≠-1 ⇒ y≠-8$
Если $x≠1 ⇒ y≠-8$
Отметим, что в данных точках прямая не имеет с графиком общих точек вообще, поэтому мы просто выкалываем их на графике, не указывая в ответе.
Таким образом, при $a=-9$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $-9$.

1. Разложим числитель на множители:
Пусть $x^2=t$, тогда числитель принимает вид: $t^2-5t+4=0 ⇒ t_1=1, t_2=4 ⇒ (t-1)(t-4)$
Обратная замена: $(t-1)(t-4)=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

2. Сократим выражение:
$y={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}/{(x-1)(x-2)}=(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$

3. Построим график функции:

4. Определим, при каких значениях $a$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку:
● Это происходит в вершине параболы при $a=-0,25$
● В точках, в которых функция не существует, то есть $(x-1)(x-2)≠0 ⇒ x≠1, x≠2$
Если $x≠1 ⇒ y≠6 ⇒ a=6$
Если $x≠2 ⇒ y≠12 ⇒ a=12$
Таким образом, при $a=-0,25; a=6; a=12$ прямая $y=a$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
В ответ необходимо записать наибольшее значение $a$, то есть $12$.

Функция $y=ax-2$ и $y=x^2-1$ имеют одну общую точку в том случае, когда система уравнений имеет единственное решение:
$\{{\table {y=ax-2}; {y=x^2-1}$ $⇔$ $x^2-1=ax-2$ $⇔$ $x^2-ax+1=0$
Уравнение имеет единственный корень при $D=0$:
$D=a^2-4 ⇔ a^2-4=0 ⇔ a=±2$
Таким образом, прямые $y=-2x-2$ и $y=2x-2$ являются касательными к графику функции $y=x^2-1$.
Построим графики:

Наибольшее значение: $a=2$.

Подмодульное выражение равно нулю при $x=0$. Раскроем знак модуля:
$\{{\table {x(x-1)-5x, \text ' при ' x≥0}; {-x(x-1)-5x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-x-5x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2+x-5x, \text ' при ' x<0}$ $⇔$ $\{{\table {x^2-6x, \text ' при ' x≥0}; {-x^2-4x, \text ' при ' x<0}$
График функции изображен на рисунке:

При $p=-9$ и $p=4$ прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно две общие точки.

Воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через 2 точки, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ - координаты точки, через которые проходит прямая:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$

1. Первая прямая проходит через точки $(5; -3)$ и $(10;2)$, подставим в формулу:
${x-5}/{10-5}={y-(-3)}/{2-(-3)} ⇔ {x-5}/{5}={y+3}/{5} ⇔ y=x-8$ - уравнение 1 прямой

2. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(3; -2)$, подставим в формулу:
${x-1}/{3-1}={y-2}/{-2-2} ⇔ {x-1}/{2}={y-2}/{-4} ⇔ y=-2x+4$ - уравнение 2 прямой

3. Чтобы найти точку пересечения прямых, необходимо найти решение системы:
$\{{\table {y=x-8}; {y=-2x+4}$ $⇔$ $\{{\table {x=4}; {y=-4}$

4. В ответ необходимо записать значение переменной $x$, то есть $4$.