Задание 23. Геометрическая задача на вычисление. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Отрезки $AC$ и $BD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $AC$, если $BD = 42$, а расстояния от центра окружности до хорд $AC$ и $BD$ равны соответственно $21$ и $20$.
Решение
Задача 2
В трапеции $ABCD$ боковые стороны $AD$ и $BC$ равны, $BK$ — высота, проведённая к большему основанию $CD$. Найдите длину отрезка $CK$, если средняя линия $MN$ трапеции равна $15$, а меньшее основание $AB$ равно $4$.
Решение
Задача 3
Прямая $CK$, перпендикулярная медиане $BD$ треугольника $ABC$, делит её пополам. Найдите сторону $AC$, если сторона $BC$ равна $8$.
Решение
Задача 4
Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $F$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $FD = 9$, $AF = 2$, а $∠ADC = 150^°$
Решение
Задача 5
Катеты прямоугольного треугольника равны $7$ и $24$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение
Задача 6
Окружность с центром на стороне $MN$ треугольника $MNP$ проходит через вершину $N$ и касается прямой $MP$ в точке $P$ . Найдите диаметр окружности, если $MP = 16$, $MN = 20$.
Решение
Задача 7
Углы $M$ и $N$ треугольника $MPN$ равны соответственно $72^°$ и $78^°$. Найдите $MN$, если радиус окружности, описанной около треугольника $MPN$, равен $6$
Решение
Задача 8
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна $19$, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Решение
Задача 9
Отрезки $AC$ и $BD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $BD$, если $AC = 24$, а расстояния от центра окружности до хорд $AC$ и $BD$ равны соответственно $35$ и $12$.
Решение
Задача 10
Прямая, параллельная основаниям трапеции $MNPK$, пересекает её боковые стороны $MN$ и $PK$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $NP = 15$, $MK = 24$, $PB$ : $BK$ = $5$ : $4$.
Решение
Задача 11
На сторонах угла $MNP$ и на его биссектрисе отложены равные отрезки $MN$, $NP$ и $NA$ (см. рис.). Величина угла $MAP$ равна $142^°$. Определите величину угла $MNP$ . Ответ дайте в градусах.
Решение
Задача 12
Найдите угол $ACO$, если его сторона $AC$ касается окружности с центром в точке $O$, а дуга $AB$, заключённая внутри этого угла, равна $150^°$ (см. рис.).
Решение
Задача 13
Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $AD$. Найдите $AD$, если $CD = 14,5$.
Решение
Задача 14
Высота $BK$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $CK = 12$ и $KD = 8$. Найдите высоту ромба.
Решение
Задача 15
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна $7$.
Решение
Задача 16
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $1$ : $2$ : $3$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна $14$.
Решение
Задача 17
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 7 и 25. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе, радиусы вписанной и описанной окружностей, площадь треугольника. Ответы запишите в таком же порядке без пробелов
Решение
1. По теореме Пифагора:
${AB}^2={AC}^2+{BC}^2$
${25}^2={7}^2+{BC}^2$
${BC}^2=625-49$
${BC}^2=576$
$BC=±24 ⇒ BC=24$
2. Найдем площадь треугольников по двум разным формулам:
$S=1/2AC·BC ⇒ S=1/2·7·24=84$
$S=1/2AB·CH ⇒ S=1/2·25·CH=12,5·CH$
3. Неважно, по какой формулу мы ищем площадь треугольника, ее величина не изменится, а значит:
$12,5·CH=84$
$CH=6,72$
Примечание: высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти по формуле $h={a·b}/c$, где $a, b-$ катеты, $c-$ гипотенуза
4. Радиус вписанной окружности находим по формуле:
$r=(AC+BC-AB)/2=(7+24-25)/2=6/2=3$
5. Радиус описанной окружности находим по формуле:
$R={AB}/2=25/2=12,5$
6. Площадь треугольника мы уже нашли: 84
Задача 18
Треугольник вписан в окружность, при чем его вершины делят ее на три дуги, которые относятся как 4:12:8. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если меньшая сторона треугольника равна 16.
Решение
1. $∪AB:∪BC:∪AC=4:12:8$
Пусть $x-$ одна часть, тогда:
$∪AB=4x=4·15=60°$
$∪BC=12x=12·15=180°$
$∪AC=8x=8·15=120°$
Градусная величина окружности равна $360°$, поэтому $4x+12x+8x=360° ⇒ x=15°$ (подставим в выражения выше и найдем градусные величины дуг).
2. Углы треугольника являются вписанными, поэтому их градусная величина равна половине дуги, на которую они опираются:
$∠A=1/2∪BC=1/2·180°=90°$
$∠B=1/2∪AC=1/2·120°=60°$
$∠C=1/2∪AB=1/2·60°=30°$
3. Напротив меньшего угла лежит меньшая сторона, поэтому сторона АВ (лежит напротив меньшего угла 30°) является наименьшей и по условию равна 16.
4. Теорема синусов:
${AB}/{sin∠C}=2R ⇒ 16/{sin 30°}=2R ⇒ 16/{1/2}={2R}/1 ⇒ R=16$
Задача 19
Найдите высоту BH ромба ABCD, если она делит сторону AD на отрезки AH=20, DH=9.
Решение
1. $AD=AH+HD=20+9=29$
2. Так как у ромба все стороны равны, следовательно $AD=AB=29$
3. По теореме Пифагора:
${AB}^2={AH}^2+{BH}^2$
${29}^2={20}^2+{BH}^2$
${BH}^2=841-400$
${BH}^2=441$
$BH=±21 ⇒ BH=21$
Задача 20
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С к гипотенузе АВ проведена высота СН. Найдите BC, если AB=16,2, BH=5.
Решение
1. $AB=AH+BH ⇒ AH=AB-BH=16,2-5=11,2$
2. Высота, проведенная к гипотенузе - это среднее геометрическое из проекций катетов на гипотенузу:
$CH=√{AH·BH}=√{5·11,2}=√{56}$
3. По теореме Пифагора:
${BC}^2={BH}^2+{CH}^2$
${BC}^2=5^2+(√{56})^2$
${BC}^2=81 ⇒ BC=±9 ⇒ BC=9$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
