Задание 23. Геометрическая задача на вычисление. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Прямая $CK$, перпендикулярная медиане $BD$ треугольника $ABC$, делит её пополам. Найдите сторону $AC$, если сторона $BC$ равна $8$.
Решение
Задача 2
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $1$ : $2$ : $3$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна $14$.
Решение
Задача 3
Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $AD$. Найдите $AD$, если $CD = 14,5$.
Решение
Задача 4
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна $19$, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Решение
Задача 5
Прямая, параллельная основаниям трапеции $MNPK$, пересекает её боковые стороны $MN$ и $PK$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $NP = 15$, $MK = 24$, $PB$ : $BK$ = $5$ : $4$.
Решение
Задача 6
Найдите угол $ACO$, если его сторона $AC$ касается окружности с центром в точке $O$, а дуга $AB$, заключённая внутри этого угла, равна $150^°$ (см. рис.).
Решение
Задача 7
Катеты прямоугольного треугольника равны $7$ и $24$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение
Задача 8
На сторонах угла $MNP$ и на его биссектрисе отложены равные отрезки $MN$, $NP$ и $NA$ (см. рис.). Величина угла $MAP$ равна $142^°$. Определите величину угла $MNP$ . Ответ дайте в градусах.
Решение
Задача 9
В трапеции $ABCD$ боковые стороны $AD$ и $BC$ равны, $BK$ — высота, проведённая к большему основанию $CD$. Найдите длину отрезка $CK$, если средняя линия $MN$ трапеции равна $15$, а меньшее основание $AB$ равно $4$.
Решение
Задача 10
Углы $M$ и $N$ треугольника $MPN$ равны соответственно $72^°$ и $78^°$. Найдите $MN$, если радиус окружности, описанной около треугольника $MPN$, равен $6$
Решение
Задача 11
Отрезки $AC$ и $BD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $AC$, если $BD = 42$, а расстояния от центра окружности до хорд $AC$ и $BD$ равны соответственно $21$ и $20$.
Решение
Задача 12
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна $7$.
Решение
Задача 13
Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $F$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $FD = 9$, $AF = 2$, а $∠ADC = 150^°$
Решение
Задача 14
Окружность с центром на стороне $MN$ треугольника $MNP$ проходит через вершину $N$ и касается прямой $MP$ в точке $P$ . Найдите диаметр окружности, если $MP = 16$, $MN = 20$.
Решение
Задача 15
Высота $BK$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $CK = 12$ и $KD = 8$. Найдите высоту ромба.
Решение
Задача 16
Отрезки $AC$ и $BD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $BD$, если $AC = 24$, а расстояния от центра окружности до хорд $AC$ и $BD$ равны соответственно $35$ и $12$.
Решение
Задача 17
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 5 и 13. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. В ответ запишите целую часть получившегося числа.
Решение
1. По теореме Пифагора:
${AB}^2={AC}^2+{BC}^2$
${13}^2={5}^2+{BC}^2$
${BC}^2=169-25$
${BC}^2=144$
$BC=±12 ⇒ BC=12$
2. Найдем площадь треугольников по двум разным формулам:
$S=1/2AC·BC ⇒ S=1/2·5·12=30$
$S=1/2AB·CH ⇒ S=1/2·13·CH=6,5·CH$
3. Неважно, по какой формулу мы ищем площадь треугольника, ее величина не изменится, а значит:
$6,5·CH=30$
$13·CH=60$
$CH=60/13=4 8/13$
4. В ответ необходимо указать целую часть получившегося числа, то есть 4.
Примечание: высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти по формуле $h={a·b}/c$, где $a, b-$ катеты, $c-$ гипотенуза
Задача 18
Найдите высоту BH ромба ABCD, если она делит сторону AD на отрезки AH=20, DH=9.
Решение
1. $AD=AH+HD=20+9=29$
2. Так как у ромба все стороны равны, следовательно $AD=AB=29$
3. По теореме Пифагора:
${AB}^2={AH}^2+{BH}^2$
${29}^2={20}^2+{BH}^2$
${BH}^2=841-400$
${BH}^2=441$
$BH=±21 ⇒ BH=21$
Задача 19
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен 4. Найдите его площадь, если гипотенуза данного треугольника равна 10.
Решение
1. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S=p·r$.
2. Проведем радиусы к сторонам треугольника: $OH, OM, OS$.
3. Касательные, проведенные из одной точки, равны, поэтому $AS=AH, BS=BM, CH=CM=r$.
4. Найдем периметр: $P=AB+BC+AC=AS+BS+BM+CM+AH+CH=2AS+2BS+2CM=2·(AS+BS+r)=2·(AB+r)=2·(10+4)=2·14=28$
5. Площадь треугольника равна: $S=p·r=P/2·r=28/2·4=56$
Задача 20
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен 1. Найдите его площадь, если гипотенуза данного треугольника равна 9.
Решение
1. Площадь треугольника можно найти по формуле: $S=p·r$.
2. Проведем радиусы к сторонам треугольника: $OH, OM, OS$.
3. Касательные, проведенные из одной точки, равны, поэтому $AS=AH, BS=BM, CH=CM=r$.
4. Найдем периметр: $P=AB+BC+AC=AS+BS+BM+CM+AH+CH=2AS+2BS+2CM=2·(AS+BS+r)=2·(AB+r)=2·(9+1)=2·10=20$
5. Площадь треугольника равна: $S=p·r=P/2·r=20/2·1=10$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
