Задание 23. Геометрическая задача на вычисление. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна $19$, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Решение
Задача 2
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна $7$.
Решение
Задача 3
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $1$ : $2$ : $3$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна $14$.
Решение
Задача 4
Прямая, параллельная основаниям трапеции $MNPK$, пересекает её боковые стороны $MN$ и $PK$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $NP = 15$, $MK = 24$, $PB$ : $BK$ = $5$ : $4$.
Решение
Задача 5
Прямая $CK$, перпендикулярная медиане $BD$ треугольника $ABC$, делит её пополам. Найдите сторону $AC$, если сторона $BC$ равна $8$.
Решение
Задача 6
Отрезки $AC$ и $BD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $AC$, если $BD = 42$, а расстояния от центра окружности до хорд $AC$ и $BD$ равны соответственно $21$ и $20$.
Решение
Задача 7
Высота $BK$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $CK = 12$ и $KD = 8$. Найдите высоту ромба.
Решение
Задача 8
Отрезки $AC$ и $BD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $BD$, если $AC = 24$, а расстояния от центра окружности до хорд $AC$ и $BD$ равны соответственно $35$ и $12$.
Решение
Задача 9
Углы $M$ и $N$ треугольника $MPN$ равны соответственно $72^°$ и $78^°$. Найдите $MN$, если радиус окружности, описанной около треугольника $MPN$, равен $6$
Решение
Задача 10
Окружность с центром на стороне $MN$ треугольника $MNP$ проходит через вершину $N$ и касается прямой $MP$ в точке $P$ . Найдите диаметр окружности, если $MP = 16$, $MN = 20$.
Решение
Задача 11
Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $F$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$, если $FD = 9$, $AF = 2$, а $∠ADC = 150^°$
Решение
Задача 12
В трапеции $ABCD$ боковые стороны $AD$ и $BC$ равны, $BK$ — высота, проведённая к большему основанию $CD$. Найдите длину отрезка $CK$, если средняя линия $MN$ трапеции равна $15$, а меньшее основание $AB$ равно $4$.
Решение
Задача 13
Катеты прямоугольного треугольника равны $7$ и $24$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение
Задача 14
Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке, лежащей на стороне $AD$. Найдите $AD$, если $CD = 14,5$.
Решение
Задача 15
Найдите угол $ACO$, если его сторона $AC$ касается окружности с центром в точке $O$, а дуга $AB$, заключённая внутри этого угла, равна $150^°$ (см. рис.).
Решение
Задача 16
На сторонах угла $MNP$ и на его биссектрисе отложены равные отрезки $MN$, $NP$ и $NA$ (см. рис.). Величина угла $MAP$ равна $142^°$. Определите величину угла $MNP$ . Ответ дайте в градусах.
Решение
Задача 17
Треугольник вписан в окружность, при чем его вершины делят ее на три дуги, которые относятся как 10:35:15. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если меньшая сторона треугольника равна 12.
Решение
1. $∪AB:∪BC:∪AC=10:35:15$
Пусть $x-$ одна часть, тогда:
$∪AB=10x=10·6=60°$
$∪BC=35x=35·6=210°$
$∪AC=15x=15·6=90°$
Градусная величина окружности равна $360°$, поэтому $10x+35x+15x=360° ⇒ x=6°$ (подставим в выражения выше и найдем градусные величины дуг).
2. Углы треугольника являются вписанными, поэтому их градусная величина равна половине дуги, на которую они опираются:
$∠A=1/2∪BC=1/2·210°=105°$
$∠B=1/2∪AC=1/2·90°=45°$
$∠C=1/2∪AB=1/2·60°=30°$
3. Напротив меньшего угла лежит меньшая сторона, поэтому сторона АВ (лежит напротив меньшего угла 30°) является наименьшей и по условию равна 12.
4. Теорема синусов:
${AB}/{sin∠C}=2R ⇒ 12/{sin 30°}=2R ⇒ 12/{1/2}={2R}/1 ⇒ R=12$
Задача 18
Отрезки AB и CD – хорды окружности. Найдите длину хорды CD, если известно, что первая AB=42, расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20, а до хорды CD равно $√517$.
Решение
1. Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит ее на пополам:
Так как $OH⊥AB ⇒ AH=BH={AB}/2=42/2=21$
2. По теореме Пифагора:
${OB}^2={OH}^2+{BH}^2$
${OB}^2={20}^2+{21}^2$
${OB}^2=841$
$OB=±29 ⇒ OB=29$
3. $OB=OC=29$ (Радиусы одной окружности равны)
4. По теореме Пифагора:
${OC}^2={OM}^2+{CM}^2$
${29}^2={√517}^2+{CM}^2$
${CM}^2=324$
$OB=±18 ⇒ OB=18$
5. Так как $OM⊥CD ⇒ CM=DM=18 ⇒ CD=CM+DM=18+18=36$
Задача 19
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 8 и 17. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе. В ответ запишите целую часть получившегося числа.
Решение
1. По теореме Пифагора:
${AB}^2={AC}^2+{BC}^2$
${17}^2={8}^2+{BC}^2$
${BC}^2=289-64$
${BC}^2=225$
$BC=±15 ⇒ BC=15$
2. Найдем площадь треугольников по двум разным формулам:
$S=1/2AC·BC ⇒ S=1/2·8·15=60$
$S=1/2AB·CH ⇒ S=1/2·17·CH=8,5·CH$
3. Неважно, по какой формулу мы ищем площадь треугольника, ее величина не изменится, а значит:
$8,5·CH=60$
$17·CH=120$
$CH=120/17=7 1/17$
4. В ответ необходимо указать целую часть получившегося числа, то есть 7.
Примечание: высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти по формуле $h={a·b}/c$, где $a, b-$ катеты, $c-$ гипотенуза
Задача 20
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны соответственно 7 и 25. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе, радиусы вписанной и описанной окружностей, площадь треугольника. Ответы запишите в таком же порядке без пробелов
Решение
1. По теореме Пифагора:
${AB}^2={AC}^2+{BC}^2$
${25}^2={7}^2+{BC}^2$
${BC}^2=625-49$
${BC}^2=576$
$BC=±24 ⇒ BC=24$
2. Найдем площадь треугольников по двум разным формулам:
$S=1/2AC·BC ⇒ S=1/2·7·24=84$
$S=1/2AB·CH ⇒ S=1/2·25·CH=12,5·CH$
3. Неважно, по какой формулу мы ищем площадь треугольника, ее величина не изменится, а значит:
$12,5·CH=84$
$CH=6,72$
Примечание: высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти по формуле $h={a·b}/c$, где $a, b-$ катеты, $c-$ гипотенуза
4. Радиус вписанной окружности находим по формуле:
$r=(AC+BC-AB)/2=(7+24-25)/2=6/2=3$
5. Радиус описанной окружности находим по формуле:
$R={AB}/2=25/2=12,5$
6. Площадь треугольника мы уже нашли: 84
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
