Пусть дан ромб ABCD, а его диагонали AC = 44 и BD пересекаются в точке O. Опустим из точки O перпендикуляр OH на сторону AB. По условию OH = 11.

Ромб является параллелограммом, поэтому его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO =OC = {1}/{2}⋅AC = {1}/{2}⋅44 = 22.$

Треугольник AHO — прямоугольный, так как OH ⊥ AB. Заметим, что в нём: ${OH}/{AO}={11}/{22}={1}/{2}$

Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°, следовательно, ∠HAO = 30° .

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому AC — биссектриса ∠BAD, следовательно, ∠BAD = 2∠HAO =2 ⋅30° =60°.

Противоположные углы ромба равны, поэтому ∠BCD = ∠BAD =60°.

Сумма углов ромба 360°, найдем $∠B=∠D={360°-60°-60°}/{2}=120°$

Обозначим искомую сторону МС как х, тогда:

АМ = АС – МС = 56 – х

ΔАМВ ∼ ΔDCM подобны по двум равным углам: ∠АМВ = ∠DMC, как вертикальные, ∠MAB = ∠MCD, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ||DC и секущей АС. 

Соответствующие стороны треугольников пропорциональны:

${AB}/{CD}={AM}/{MC}$

${10}/{25}={56-x}/{x}$ (cокращаем дробь слева на 2 и перемножаем крест на крест)

$2·x = 5·(56 – x)$

$2x = 280 – 5x$

$2x + 5x = 280$

$7x = 280$

$x = {280}/{7} = 40$

Найдём DC : DC = DH + HC =21 +8 = 29.

По условию ABCD — ромб, поэтому AB = BC = CD = AD =29.

Рассмотрим треугольник AHD. Он прямоугольный, так как AH ⊥ DC, ведь AH — высота ромба по условию. Тогда по теореме Пифагора для треугольника AHD : $AD^2 = DH^2 + AH^2.$

$AH^2 = AD^2 − DH^2$

$AH^2 = 29^2 − 21^2$

$AH^2 = 841 − 441$

$AH^2 = 400$

AH = 20

Рассмотрим ΔABC и ΔABH в них ∠A общий, ∠ABC = ∠AHB как прямые углы. Значит, треугольники подобны по двум равным углам.

Запишем отношение сторон: ${AB}/{AC}={AH}/{AB}$

$AB·AB = AC·AH$

$AB^2 = 40·10 = 400$

$AB = √400 = 20$

Ответ: 20.

1) Проведём высоты AH и CK трапеции ABCD. Тогда $∠AHB = 90° = ∠BCK.$

Значит, $∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 135°− 90° = 45°.$

2) Рассмотрим треугольник CKD, в нем: ∠KCD=45°, ∠CKD=90°, так как CK - высота. Найдем $∠СDK: ∠СDK=180°-90°-45°=45°$ => треугольник CKD - равнобедренный

3) Пусть $CK=KD=x.$ Тогда по теореме Пифагора найдем CD:

$CK^2+KD^2=CD^2$

$x^2+x^2=36^2$

$2x^2=1296$

$x^2=648$

$x=√648$

$CK=KD=√648$

3) Высоты трапеции равны между собой => $CK=AH=√648$

4) Рассмотрим треугольник ABH, в нем: $∠ABH=60°$ (по условию), $∠BHA=90°$, так как AH-высота, найдем ∠BAH:

$∠BAH=180°-90°-60°=30°$

5) Напротив угла в 30° в прямоугольном треугольнике лежит катет равный половине гипотенузы => $AB=2BH$

Пусть BH=x, тогда AB=2x, по теореме Пифагора:

$AH^2+BH^2=AB^2$

$(√648)^2+x^2=(2x)^2$

$3x^2=648$

$x^2=216$

$x=√216=√{36·6}=6√6$

$AB=2x=2·6√6=12√6$

Сокращаем на $√6,$ получаем 12

Ответ: 12