Радиус равен половине стороны квадрата => вся сторона - 36√2

По теореме Пифагора найдем диагональ (d):

$(36√2)^2+(36√2)^2=d^2 $

$ 2592+2592=d^2 $

$d^2=5184 $

$d=72 $

Так как центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит сторона $AB$ проходит через центр окружности

Следовательно, $AB$ - это диаметр окружности

Тогда $AB=2R=2·6,5=13$

Угол $ACB$, опирающийся на диаметр, равен $90°$

Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный, и по теореме Пифагора:

$AB^2=AC^2+BC^2$

Подставим значения: $13^2=AC^2+12^2$

Получим: $169=AC^2+144$

Тогда $AC^2=25$

Значит, $AC=5$

Сторона $AC$ равна 5

Воспользуемся формулой радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника: $R={a√3}/{3}$

Подставим значение стороны: $R={18√3·√3}/{3}$

Получим: $R={18·3}/{3}$

Тогда $R=18$

Радиус окружности равен 18

Вспомним, что вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла

Угол $AOB=27°$ - это центральный угол, который опирается на дугу $AB$

Так как точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$, точка $C$ находится на той же стороне от хорды $AB$, что и центр окружности

Значит, угол $ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$

Тогда $∠ACB={27°}/{2}=13,5°$

Угол $ACB$ равен 13,5

Воспользуемся формулой радиуса описанной окружности: $R={a√3}/{3}$, где а - сторона треугольника

Подставим туда длину стороны треугольника: $R={14 √3·√3}/{3}={14·3}/{3}=14$

Радиус равен 14

Воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности: $r={a√3}/{6}$, где $a$ - сторона треугольника

Подставим туда длину стороны: $r={20√3·√3}/{6}$

Получим: $r={20·3}/{6}$

Тогда $r=10$

Радиус окружности равен 10

Воспользуемся формулой радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника: $R={a√3}/{3}$, где $a$ - сторона треугольника

Подставим туда наш радиус окружности: ${9√3}/{1}={a√3}/{3}$

Перемножим крест на крест: $9√3·3=a√3·1$

Получим: $27√3=a√3$

Поделим обе части уравнения на $√3$: $a=27$

Сторона треугольника равна 27

Формула для определения площади треугольника: $S=pr$, где p-полупериметр, r - радиус

Воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности: $r={a√3}/{6}$, где а - сторона треугольника

Подставим туда наш радиус окружности: ${9√3}/{1}={a√3}/{6}$

Перемножим крест на крест (пропорция): $9√3 · 6= a√3· 1$

Получим: 54√3=a√3

Поделим обе части уравнения на $√3$: a=54

Сторона треугольника равна 54

Так как $AD$ и $BC$ - основания трапеции, то они параллельны

Тогда сумма внутренних односторонних углов при боковой стороне $AB$ равна $180°$

Значит, $∠A+∠B=180°$

Подставим значение угла $A$: $59°+∠B=180°$

Получим: $∠B=180°-59°=121°$

Угол $B$ равен 121

Вспомним, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

Угол $ABD=85°$ опирается на дугу $AD$

Тогда дуга $AD$ равна: $85·2=170°$

Угол $CAD=19°$ опирается на дугу $CD$

Тогда дуга $CD$ равна: $19·2=38°$

Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$

Найдём дугу $ADC$: $170°+38°=208°$

Тогда $∠ABC={208°}/{2}=104°$

Угол $ABC$ равен 104

Вспомним свойство четырёхугольника, описанного около окружности: суммы противоположных сторон равны

Значит, $AB+CD=BC+AD$

Подставим известные значения: $11+12=7+AD$

Получим: $23=7+AD$

Тогда $AD=23-7=16$

Сторона $AD$ равна 16

Воспользуемся формулой площади треугольника через радиус вписанной окружности: $S=r·p$, где $p$ - полупериметр

Найдём полупериметр: $p={71}/{2}=35,5$

Подставим значения в формулу площади: $S=6·35,5$

Получим: $S=213$

Площадь треугольника равна 213

Воспользуемся тем, что радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали

Найдём диагональ квадрата: $d=a√2=24√2·√2=24·2=48$

Тогда радиус окружности равен: $R={48}/{2}=24$

Радиус окружности равен 24

Угол CAD и угол CBD - вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 74 градуса

$∠ABD=∠ABC-∠CBD=120°-74°=46°$

Ответ: 46.