По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:

${11}/{15} = {x}/{75}$

По правилу пропорции получаем:

$15x=11·75$

$15x=825$

$x={825}/{15}$

$x=55$

$BC = 55$

1) Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам, найдем AM и MC: $AM = MC = 26:2 = 13$

2) Треугольник BMC - равнобедренный, а значит его высота является медианой и делит основание MC пополам: $MH = HC = 13:2=6,5$

3) $AH = AM + MH = 13 + 6,5=19,5$

Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 16:2=8$

Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет угла B - это BC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ cosB={BC}/{AB}={14}/{50} = 0,28 $

1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$

2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$

3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$

Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$41^2-40^2=x^2$

$1681-1600=x^2$

$x^2=81$

$x=9$

Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:

$8^2+15^2=x^2$

$64+225=x^2$

$x^2=289$

$x=17$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b·sinα$, где a,b - стороны, sinα - синус угла между ними. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}·a·b·sinα = {1}/{2} · 9 · 16 · {7}/{12}= 42$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 18 · 7 = 63$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ah$, где a - сторона, h - высота. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ah = {1}/{2} · 18 · 17 = 153$

Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой, а значит делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Пусть половина нижнего основания - это x. Тогда сторона треугольника - это 2х. По теореме Пифагора получаем:

$(13√3)^2+x^2=(2x)^2 $

$507+x^2=4x^2$

$x^2-4x^2=-507$

$-3x^2=-507$

$x^2=169$

$x=13$

По определению, синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $sinB = {AC}/{AB}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:

${7}/{12} = {x}/{48}$

По правилу пропорции получаем:

$12x=7·48$

$12x=336$

$x={336}/{12}$

$x=28$

$AC = 28$

Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-38-89=53$

1) Высота образует угол 90°

2) Рассмотрим треугольник ABH, в нем мы знаем два угла, а так как сумма углов любого треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠ABH=180 - 82 - 90 = 8°$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$15^2+x^2=39^2$

$225+ x^2=1521$

$x^2=1521-225$

$x^2=1296$

$x=36 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$