1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$

2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$

3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b·sinα$, где a,b - стороны, sinα - синус угла между ними. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}·a·b·sinα = {1}/{2} · 12 · 8 · {11}/{12}= 44$

1) Высота образует угол 90°

2) Рассмотрим треугольник ABH, в нем мы знаем два угла, а так как сумма углов любого треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠ABH=180 - 82 - 90 = 8°$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$15^2+x^2=39^2$

$225+ x^2=1521$

$x^2=1521-225$

$x^2=1296$

$x=36 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$

Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$34^2-16^2=x^2$

$1156-256=x^2$

$x^2=900$

$x=30$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${22}/{2}=11$

Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет угла B - это AC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ sinB={AC}/{AB}={24}/{25} = 0,96 $

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=12:2=6

$6^2+x^2=10^2$

$36 + x^2=100$

$x^2=100-36$

$x^2=64$

$x=8 $ - высота

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·12·8 = 48$

Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой, а значит делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Пусть половина нижнего основания - это x. Тогда сторона треугольника - это 2х. По теореме Пифагора получаем:

$(13√3)^2+x^2=(2x)^2 $

$507+x^2=4x^2$

$x^2-4x^2=-507$

$-3x^2=-507$

$x^2=169$

$x=13$

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами углов ромба

$∠BAC=∠CAD=28^°$

Для того, чтобы найти величину тупого угла ∠ABC, вычислим сначала величину острого угла ∠BAD:

$∠BAD=∠BCD=28^°+28^°=56^°$

$∠ABC={(360^°-56^°-56^°)}/{2}={248^°}/{2}=124^°$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ah$, где a - сторона, h - высота. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ah = {1}/{2} · 18 · 17 = 153$

В квадрате все стороны равны, а все углы прямые, из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем гипотенузу, которая является диагональю квадрата (d):

$d^2=(3√2)^2+(3√2)^2$

$d^2=18+18$

$d^2=36$

$d=6$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 20 · 12 = 120$

Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$41^2-40^2=x^2$

$1681-1600=x^2$

$x^2=81$

$x=9$