Задание 15. Углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру ∠A, если ∠C = 65°, BM = AM = MC.
Решение
Так как BM — медиана, то точка M является серединой стороны AC, следовательно, AM = MC.
По условию BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный.
Тогда ∠MBC = ∠BCM = 65°.
Найдём угол при вершине M:
∠BMC = 180° − 65° − 65° = 50°.
Так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то
∠BMA = 180° − 50° = 130°.
По условию BM = AM, значит, треугольник ABM равнобедренный.
Следовательно, его углы при основании равны:
(180° − 130°) : 2 = 25°.
Значит, ∠A = 25°.
Ответ: 25.
Задача 2
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру ∠B, если ∠C = 16° и AK = CK.
Решение
По условию AK = CK, значит, треугольник AKC равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
∠KAC = ∠ACK.
Так как точка K лежит на стороне BC, то
∠ACK = ∠C = 16°.
Следовательно,
∠KAC = 16°.
Так как AK — биссектриса ∠A, то
∠BAK = ∠KAC = 16°.
Найдём ∠A:
∠A = 16° + 16° = 32°.
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠B = 180° − 32° − 16° = 132°.
Ответ: 132.
Задача 3
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos∠B = ${5}/{12}$, AB = 60. Найдите BC.
Решение
По определению косинуса острого угла:
$cos∠B={BC}/{AB}$.
Подставим известные значения:
${5}/{12}={BC}/{60}$.
Выразим BC:
$BC=60·{5}/{12}$.
$BC=25$.
Ответ: 25.
Задача 4
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру ∠B, если ∠C = 22° и AK = CK.
Решение
По условию AK = CK, значит, треугольник AKC равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
∠KAC = ∠ACK.
Так как точка K лежит на стороне BC, то
∠ACK = ∠C = 22°.
Следовательно,
∠KAC = 22°.
Так как AK — биссектриса ∠A, то
∠BAK = ∠KAC = 22°.
Найдём ∠A:
∠A = 22° + 22° = 44°.
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠B = 180° − 44° − 22° = 114°.
Ответ: 114.
Задача 5
Биссектриса равностороннего треугольника равна $11√3$. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой.
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
$h={a√3}/{2}$,
где $a$ — сторона треугольника.
По условию $h=11√3$.
Подставим значение:
${a√3}/{2}=11√3$.
Разделим обе части равенства на $√3$:
${a}/{2}=11$.
Тогда
$a=22$.
Ответ: 22.
Задача 6
Высота равностороннего треугольника равна $13√3$. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота вычисляется по формуле:
$h={a√3}/{2}$,
где $a$ — сторона треугольника.
По условию $h=13√3$.
Подставим значение:
${a√3}/{2}=13√3$.
Разделим обе части равенства на $√3$:
${a}/{2}=13$.
Тогда
$a=26$.
Ответ: 26.
Задача 7
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру ∠A, если ∠C = 56°, BM = AM = MC.
Решение
Так как BM — медиана, то точка M является серединой стороны AC, следовательно, AM = MC.
По условию BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный.
Тогда ∠MBC = ∠BCM = 56°.
Найдём угол при вершине M:
∠BMC = 180° − 56° − 56° = 68°.
Так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то
∠BMA = 180° − 68° = 112°.
По условию BM = AM, значит, треугольник ABM равнобедренный.
Следовательно, его углы при основании равны:
(180° − 112°) : 2 = 34°.
Значит, ∠A = 34°.
Ответ: 34.
Задача 8
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin∠B = ${5}/{17}$, AB = 51. Найдите AC.
Решение
По определению синуса острого угла:
$sin∠B={AC}/{AB}$.
Подставим известные значения:
${5}/{17}={AC}/{51}$.
Выразим AC:
$AC=51·{5}/{17}$.
$AC=15$.
Ответ: 15.
Задача 9
В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin∠ABC = ${2}/{5}$. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле:
$S={1}/{2}$·AB·BC·sin∠ABC$.
Подставим известные значения:
$S={1}/{2}·20·7·{2}/{5}$.
Выполним вычисления:
$S=10·7·{2}/{5}$.
$S=70·{2}/{5}$=28.
Ответ: 28.
Задача 10
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg∠B = ${8}/{5}$, BC = 20. Найдите AC.
Решение
По определению тангенса острого угла:
$tg∠B={AC}/{BC}$.
Подставим известные значения:
${8}/{5}={AC}/{20}$.
Выразим AC:
$AC=20·{8}/{5}$.
$AC=32$.
Ответ: 32.
Задача 11
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, AB=25. Найдите sinB.
Решение
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет угла B - это AC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ sinB={AC}/{AB}={24}/{25} = 0,96 $
Задача 12
В треугольнике два угла равны 38° и 89°.Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-38-89=53$
Задача 13
В треугольнике ABC угол C равен 142°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Видим, что внешний угол является смежным с внутренним углом C, сумма смежных углов 180°. Находим внешний угол: $180-142=38$
Задача 14
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$
Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°
Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${34}/{2}=17$
Задача 15
Смежные углы относятся как 2:3. Найдите больший угол.
Решение
1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$
2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$
3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$
Задача 16
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $tgB={9}/{7},$ BC=42. Найдите AC.
Решение
По определению, тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Следовательно, $tgB = {AC}/{BC}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:
${9}/{7} = {x}/{42}$
По правилу пропорции получаем:
$7x=9·42$
$7x=378$
$x={378}/{7}$
$x=54$
$AC = 54$
Задача 17
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$20^2-12^2=x^2$
$400-144=x^2$
$x^2=256$
$x=16$
Задача 18
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:
$16^2+30^2=x^2$
$256+900=x^2$
$x^2=1156$
$x=34$
Задача 19
В треугольнике ABC известно, что AC=36, BM – медиана, BM=28. Найдите АM.
Решение
Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 36:2=18$
Задача 20
В треугольнике ABC известно, что AC=16, BM – медиана, BM=12. Найдите АM.
Решение
Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 16:2=8$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
