Задание 15. Углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 39
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:
$15^2+x^2=39^2$
$225+ x^2=1521$
$x^2=1521-225$
$x^2=1296$
$x=36 $ - второй катет
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$
Задача 2
Два катета прямоугольного треугольника равны 20 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:
$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 20 · 12 = 120$
Задача 3
Сторона ромба равна 22, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$
Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°
Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${22}/{2}=11$
Задача 4
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:
$16^2+30^2=x^2$
$256+900=x^2$
$x^2=1156$
$x=34$
Задача 5
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $cosB={11}/{15},$ AB=75. Найдите BC.
Решение
По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:
${11}/{15} = {x}/{75}$
По правилу пропорции получаем:
$15x=11·75$
$15x=825$
$x={825}/{15}$
$x=55$
$BC = 55$
Задача 6
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$41^2-40^2=x^2$
$1681-1600=x^2$
$x^2=81$
$x=9$
Задача 7
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=82° . Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Высота образует угол 90°
2) Рассмотрим треугольник ABH, в нем мы знаем два угла, а так как сумма углов любого треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠ABH=180 - 82 - 90 = 8°$
Задача 8
На стороне $NP$ прямоугольника $MNPK$ (см. рис.), у которого $MK =14$ и $MN = 8$, отмечена точка $A$ так, что $∠ MAN = 45^{°}$. Найдите $AK$.
Решение
Треугольник MNA - прямоугольный и один из углов равен $45^{°}$ => треугольник равнобедренный => $AN=MN=8$
$AP=PN-AN=14-8=6$
Найдем AK по теореме Пифагора:
$AP^2+PK^2=AK^2 $
$6^2+8^2=AK^2 $
$36+64=AK^2 $
$AK^2=100$
$AK=10 $
Задача 9
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 42, сторона BC равна 44, сторона AC равна 62. Найдите MN.
Решение
1) MN является средней линией, так как делит соседние стороны пополам
2) Чтобы найти среднюю линию, нужно поделить пополам сторону, которая ей параллельна: $MN = AC:2 = 62:2=31$
Задача 10
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 12, а один из углов между боковой cтороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
Решение
Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (12-4):2=4$
Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=4, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.
$S={a+b}/{2}∙h= {4+12}/{2}∙4=32$
Задача 11
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=82°,AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$
Задача 12
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 126°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-126°=54°$
2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=54°$
3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-54°-54°=72°$
Задача 13
В треугольнике ABC угол C равен 96°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Видим, что внешний угол является смежным с внутренним углом C, сумма смежных углов 180°. Находим внешний угол: $180-96=84$
Задача 14
Диагональ прямоугольника образует угол $57°$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам => $OA=OD=OC=OB$
Тогда треугольники AOD, AOB, COB, COD - равнобедренные и их углы при основании равны
$∠OAB=∠OBA=57°$, тогда $∠AOB = 180° - 57° - 57° = 66°$
Задача 15
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 48. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=48:2=24
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в нем мы знаем гипотенузу и нижний катет, по теореме Пифагора найдем второй катет:$24^2+x^2=25^2$
$576 + x^2=625$
$x^2=625-576$
$x^2=49$
$x=7 $ - высота
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·48·7 = 168$
Задача 16
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $sinB={7}/{12},$ AB=48. Найдите AC.
Решение
По определению, синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $sinB = {AC}/{AB}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:
${7}/{12} = {x}/{48}$
По правилу пропорции получаем:
$12x=7·48$
$12x=336$
$x={336}/{12}$
$x=28$
$AC = 28$
Задача 17
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 111°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-111°=69°$
2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=69°$
3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-69°-69°=42°$
Задача 18
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=78°,AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$
Задача 19
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=12:2=6
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в нем мы знаем гипотенузу и нижний катет, по теореме Пифагора найдем второй катет:$6^2+x^2=10^2$
$36 + x^2=100$
$x^2=100-36$
$x^2=64$
$x=8 $ - высота
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·12·8 = 48$
Задача 20
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, AC=28. Найдите tgB.
Решение
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={28}/{4} = 7 $
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
