Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={30}/{10} = 3 $

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$

Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (12-4):2=4$

Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=4, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.

$S={a+b}/{2}∙h= {4+12}/{2}∙4=32$

В квадрате все стороны равны, а все углы прямые, из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем гипотенузу, которая является диагональю квадрата (d):

$d^2=(3√2)^2+(3√2)^2$

$d^2=18+18$

$d^2=36$

$d=6$

По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:

${11}/{15} = {x}/{75}$

По правилу пропорции получаем:

$15x=11·75$

$15x=825$

$x={825}/{15}$

$x=55$

$BC = 55$

По определению, синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $sinB = {AC}/{AB}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:

${7}/{12} = {x}/{48}$

По правилу пропорции получаем:

$12x=7·48$

$12x=336$

$x={336}/{12}$

$x=28$

$AC = 28$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$15^2+x^2=39^2$

$225+ x^2=1521$

$x^2=1521-225$

$x^2=1296$

$x=36 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$

1) Пусть $∠6 = x$, тогда $∠1 = x+23$

2) $∠1=∠4=x+23$ (как вертикальные углы)

3) Так как ∠4 и ∠6 односторонние, то в сумме они будут давать $180^°$.Составим уравнение:

$∠4+∠6=180$

$x+x+23=180$

$2x=180-23$

$2x=157$

$x=78,5 - ∠6$

1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$

2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$

3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 18 · 7 = 63$

Треугольник MNA - прямоугольный и один из углов равен $45^{°}$ => треугольник равнобедренный => $AN=MN=8$

$AP=PN-AN=14-8=6$

Найдем AK по теореме Пифагора:

$AP^2+PK^2=AK^2 $

$6^2+8^2=AK^2 $

$36+64=AK^2 $

$AK^2=100$

$AK=10 $

Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 36:2=18$

1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-126°=54°$

2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=54°$

3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-54°-54°=72°$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${34}/{2}=17$

Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой, а значит делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Пусть половина нижнего основания - это x. Тогда сторона треугольника - это 2х. По теореме Пифагора получаем:

$(13√3)^2+x^2=(2x)^2 $

$507+x^2=4x^2$

$x^2-4x^2=-507$

$-3x^2=-507$

$x^2=169$

$x=13$