Задание 15. Углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $sinB={7}/{12},$ AB=48. Найдите AC.
Решение
По определению, синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $sinB = {AC}/{AB}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:
${7}/{12} = {x}/{48}$
По правилу пропорции получаем:
$12x=7·48$
$12x=336$
$x={336}/{12}$
$x=28$
$AC = 28$
Задача 2
На рисунке прямые а и в параллельны. ∠ 1 на 23 градуса больше ∠ 6. Найдите величину ∠6.
Решение
1) Пусть $∠6 = x$, тогда $∠1 = x+23$
2) $∠1=∠4=x+23$ (как вертикальные углы)
3) Так как ∠4 и ∠6 односторонние, то в сумме они будут давать $180^°$.Составим уравнение:
$∠4+∠6=180$
$x+x+23=180$
$2x=180-23$
$2x=157$
$x=78,5 - ∠6$
Задача 3
Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3 . Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой, а значит делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Пусть половина нижнего основания - это x. Тогда сторона треугольника - это 2х. По теореме Пифагора получаем:
$(13√3)^2+x^2=(2x)^2 $
$507+x^2=4x^2$
$x^2-4x^2=-507$
$-3x^2=-507$
$x^2=169$
$x=13$
Так как сторона треугольника - 2х, то 2х=2⋅13=26Задача 4
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 42, сторона BC равна 44, сторона AC равна 62. Найдите MN.
Решение
1) MN является средней линией, так как делит соседние стороны пополам
2) Чтобы найти среднюю линию, нужно поделить пополам сторону, которая ей параллельна: $MN = AC:2 = 62:2=31$
Задача 5
Смежные углы относятся как 2:3. Найдите больший угол.
Решение
1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$
2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$
3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$
Задача 6
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3 . Найдите медиану этого треугольника.
Решение
Медиана равностороннего треугольника является высотой, а значит образует прямоугольный треугольник. Медиана делит основание пополам, а значит половина нижнего основания равна 5√3. Пусть медиана - это x. По теореме Пифагора получаем:
$(5√3)^2+x^2=(10√3)^2 $
$75+x^2=300$
$x^2=300-75$
$x^2=225$
$x=15$
Задача 7
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, AC=28. Найдите tgB.
Решение
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={28}/{4} = 7 $
Задача 8
В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC=26 и BC=BM. Найдите AH.
Решение
1) Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам, найдем AM и MC: $AM = MC = 26:2 = 13$
2) Треугольник BMC - равнобедренный, а значит его высота является медианой и делит основание MC пополам: $MH = HC = 13:2=6,5$
3) $AH = AM + MH = 13 + 6,5=19,5$
Задача 9
В треугольнике ABC угол C равен 142°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Видим, что внешний угол является смежным с внутренним углом C, сумма смежных углов 180°. Находим внешний угол: $180-142=38$
Задача 10
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$34^2-16^2=x^2$
$1156-256=x^2$
$x^2=900$
$x=30$
Задача 11
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 48. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=48:2=24
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в нем мы знаем гипотенузу и нижний катет, по теореме Пифагора найдем второй катет:$24^2+x^2=25^2$
$576 + x^2=625$
$x^2=625-576$
$x^2=49$
$x=7 $ - высота
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·48·7 = 168$
Задача 12
Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:
$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 18 · 7 = 63$
Задача 13
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=82°,AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$
Задача 14
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 39
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:
$15^2+x^2=39^2$
$225+ x^2=1521$
$x^2=1521-225$
$x^2=1296$
$x=36 $ - второй катет
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$
Задача 15
В треугольнике ABC известно, что AB=9, BC=16, $sinB={7}/{12}$. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b·sinα$, где a,b - стороны, sinα - синус угла между ними. Подставляем наши данные в формулу, получаем:
$S={1}/{2}·a·b·sinα = {1}/{2} · 9 · 16 · {7}/{12}= 42$
Задача 16
В треугольнике одна из сторон равна 18, а опущенная на нее высота – 17. Найдите площадь треугольника.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ah$, где a - сторона, h - высота. Подставляем наши данные в формулу, получаем:
$S={1}/{2}ah = {1}/{2} · 18 · 17 = 153$
Задача 17
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $cosB={11}/{15},$ AB=75. Найдите BC.
Решение
По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:
${11}/{15} = {x}/{75}$
По правилу пропорции получаем:
$15x=11·75$
$15x=825$
$x={825}/{15}$
$x=55$
$BC = 55$
Задача 18
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15 Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:
$8^2+15^2=x^2$
$64+225=x^2$
$x^2=289$
$x=17$
Задача 19
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 111°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-111°=69°$
2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=69°$
3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-69°-69°=42°$
Задача 20
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $tgB={9}/{7},$ BC=42. Найдите AC.
Решение
По определению, тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Следовательно, $tgB = {AC}/{BC}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:
${9}/{7} = {x}/{42}$
По правилу пропорции получаем:
$7x=9·42$
$7x=378$
$x={378}/{7}$
$x=54$
$AC = 54$
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
