Задание 15. Углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру ∠B, если ∠C = 22° и AK = CK.
Решение
По условию AK = CK, значит, треугольник AKC равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
∠KAC = ∠ACK.
Так как точка K лежит на стороне BC, то
∠ACK = ∠C = 22°.
Следовательно,
∠KAC = 22°.
Так как AK — биссектриса ∠A, то
∠BAK = ∠KAC = 22°.
Найдём ∠A:
∠A = 22° + 22° = 44°.
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠B = 180° − 44° − 22° = 114°.
Ответ: 114.
Задача 2
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру ∠B, если ∠C = 16° и AK = CK.
Решение
По условию AK = CK, значит, треугольник AKC равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
∠KAC = ∠ACK.
Так как точка K лежит на стороне BC, то
∠ACK = ∠C = 16°.
Следовательно,
∠KAC = 16°.
Так как AK — биссектриса ∠A, то
∠BAK = ∠KAC = 16°.
Найдём ∠A:
∠A = 16° + 16° = 32°.
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠B = 180° − 32° − 16° = 132°.
Ответ: 132.
Задача 3
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру ∠A, если ∠C = 65°, BM = AM = MC.
Решение
Так как BM — медиана, то точка M является серединой стороны AC, следовательно, AM = MC.
По условию BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный.
Тогда ∠MBC = ∠BCM = 65°.
Найдём угол при вершине M:
∠BMC = 180° − 65° − 65° = 50°.
Так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то
∠BMA = 180° − 50° = 130°.
По условию BM = AM, значит, треугольник ABM равнобедренный.
Следовательно, его углы при основании равны:
(180° − 130°) : 2 = 25°.
Значит, ∠A = 25°.
Ответ: 25.
Задача 4
Высота равностороннего треугольника равна $13√3$. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота вычисляется по формуле:
$h={a√3}/{2}$,
где $a$ — сторона треугольника.
По условию $h=13√3$.
Подставим значение:
${a√3}/{2}=13√3$.
Разделим обе части равенства на $√3$:
${a}/{2}=13$.
Тогда
$a=26$.
Ответ: 26.
Задача 5
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos∠B = ${5}/{12}$, AB = 60. Найдите BC.
Решение
По определению косинуса острого угла:
$cos∠B={BC}/{AB}$.
Подставим известные значения:
${5}/{12}={BC}/{60}$.
Выразим BC:
$BC=60·{5}/{12}$.
$BC=25$.
Ответ: 25.
Задача 6
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin∠B = ${5}/{17}$, AB = 51. Найдите AC.
Решение
По определению синуса острого угла:
$sin∠B={AC}/{AB}$.
Подставим известные значения:
${5}/{17}={AC}/{51}$.
Выразим AC:
$AC=51·{5}/{17}$.
$AC=15$.
Ответ: 15.
Задача 7
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg∠B = ${8}/{5}$, BC = 20. Найдите AC.
Решение
По определению тангенса острого угла:
$tg∠B={AC}/{BC}$.
Подставим известные значения:
${8}/{5}={AC}/{20}$.
Выразим AC:
$AC=20·{8}/{5}$.
$AC=32$.
Ответ: 32.
Задача 8
Биссектриса равностороннего треугольника равна $11√3$. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой.
Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
$h={a√3}/{2}$,
где $a$ — сторона треугольника.
По условию $h=11√3$.
Подставим значение:
${a√3}/{2}=11√3$.
Разделим обе части равенства на $√3$:
${a}/{2}=11$.
Тогда
$a=22$.
Ответ: 22.
Задача 9
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру ∠A, если ∠C = 56°, BM = AM = MC.
Решение
Так как BM — медиана, то точка M является серединой стороны AC, следовательно, AM = MC.
По условию BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный.
Тогда ∠MBC = ∠BCM = 56°.
Найдём угол при вершине M:
∠BMC = 180° − 56° − 56° = 68°.
Так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то
∠BMA = 180° − 68° = 112°.
По условию BM = AM, значит, треугольник ABM равнобедренный.
Следовательно, его углы при основании равны:
(180° − 112°) : 2 = 34°.
Значит, ∠A = 34°.
Ответ: 34.
Задача 10
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$41^2-40^2=x^2$
$1681-1600=x^2$
$x^2=81$
$x=9$
Задача 11
В треугольнике ABC известно, что AC=36, BM – медиана, BM=28. Найдите АM.
Решение
Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 36:2=18$
Задача 12
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:
$16^2+30^2=x^2$
$256+900=x^2$
$x^2=1156$
$x=34$
Задача 13
Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:
$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 18 · 7 = 63$
Задача 14
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=50. Найдите cosB.
Решение
Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет угла B - это BC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ cosB={BC}/{AB}={14}/{50} = 0,28 $
Задача 15
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=78°,AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$
Задача 16
Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15 Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:
$8^2+15^2=x^2$
$64+225=x^2$
$x^2=289$
$x=17$
Задача 17
В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=8, $sinB={11}/{12}$. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b·sinα$, где a,b - стороны, sinα - синус угла между ними. Подставляем наши данные в формулу, получаем:
$S={1}/{2}·a·b·sinα = {1}/{2} · 12 · 8 · {11}/{12}= 44$
Задача 18
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=82° . Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Высота образует угол 90°
2) Рассмотрим треугольник ABH, в нем мы знаем два угла, а так как сумма углов любого треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠ABH=180 - 82 - 90 = 8°$
Задача 19
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:
$28^2+x^2=100^2$
$784+ x^2=10000$
$x^2=10000-784$
$x^2=9216$
$x=96 $ - второй катет
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·28·96 = 1344$
Задача 20
В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC=26 и BC=BM. Найдите AH.
Решение
1) Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам, найдем AM и MC: $AM = MC = 26:2 = 13$
2) Треугольник BMC - равнобедренный, а значит его высота является медианой и делит основание MC пополам: $MH = HC = 13:2=6,5$
3) $AH = AM + MH = 13 + 6,5=19,5$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
