Задание 15. Углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
В ромбе $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Найдите величину тупого угла $ABC$, если угол $CAD$ равен $28^°$.
Решение
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами углов ромба
$∠BAC=∠CAD=28^°$
Для того, чтобы найти величину тупого угла ∠ABC, вычислим сначала величину острого угла ∠BAD:
$∠BAD=∠BCD=28^°+28^°=56^°$
$∠ABC={(360^°-56^°-56^°)}/{2}={248^°}/{2}=124^°$
Задача 2
В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC=26 и BC=BM. Найдите AH.
Решение
1) Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам, найдем AM и MC: $AM = MC = 26:2 = 13$
2) Треугольник BMC - равнобедренный, а значит его высота является медианой и делит основание MC пополам: $MH = HC = 13:2=6,5$
3) $AH = AM + MH = 13 + 6,5=19,5$
Задача 3
В треугольнике одна из сторон равна 18, а опущенная на нее высота – 17. Найдите площадь треугольника.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ah$, где a - сторона, h - высота. Подставляем наши данные в формулу, получаем:
$S={1}/{2}ah = {1}/{2} · 18 · 17 = 153$
Задача 4
В треугольнике ABC известно, что AC=16, BM – медиана, BM=12. Найдите АM.
Решение
Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 16:2=8$
Задача 5
В треугольнике ABC известно, что AC=36, BM – медиана, BM=28. Найдите АM.
Решение
Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 36:2=18$
Задача 6
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, AB=25. Найдите sinB.
Решение
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет угла B - это AC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ sinB={AC}/{AB}={24}/{25} = 0,96 $
Задача 7
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=10, AC=30. Найдите tgB.
Решение
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={30}/{10} = 3 $
Задача 8
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 48. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=48:2=24
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в нем мы знаем гипотенузу и нижний катет, по теореме Пифагора найдем второй катет:$24^2+x^2=25^2$
$576 + x^2=625$
$x^2=625-576$
$x^2=49$
$x=7 $ - высота
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·48·7 = 168$
Задача 9
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $cosB={11}/{15},$ AB=75. Найдите BC.
Решение
По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:
${11}/{15} = {x}/{75}$
По правилу пропорции получаем:
$15x=11·75$
$15x=825$
$x={825}/{15}$
$x=55$
$BC = 55$
Задача 10
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$34^2-16^2=x^2$
$1156-256=x^2$
$x^2=900$
$x=30$
Задача 11
В треугольнике ABC угол C равен 96°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Видим, что внешний угол является смежным с внутренним углом C, сумма смежных углов 180°. Находим внешний угол: $180-96=84$
Задача 12
Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3 . Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой, а значит делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Пусть половина нижнего основания - это x. Тогда сторона треугольника - это 2х. По теореме Пифагора получаем:
$(13√3)^2+x^2=(2x)^2 $
$507+x^2=4x^2$
$x^2-4x^2=-507$
$-3x^2=-507$
$x^2=169$
$x=13$
Так как сторона треугольника - 2х, то 2х=2⋅13=26Задача 13
В треугольнике два угла равны 44° и 72°.Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-44-72=64$
Задача 14
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$41^2-40^2=x^2$
$1681-1600=x^2$
$x^2=81$
$x=9$
Задача 15
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 12 и 20 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$20^2-12^2=x^2$
$400-144=x^2$
$x^2=256$
$x=16$
Задача 16
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=12:2=6
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в нем мы знаем гипотенузу и нижний катет, по теореме Пифагора найдем второй катет:$6^2+x^2=10^2$
$36 + x^2=100$
$x^2=100-36$
$x^2=64$
$x=8 $ - высота
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·12·8 = 48$
Задача 17
Два катета прямоугольного треугольника равны 20 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:
$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 20 · 12 = 120$
Задача 18
На стороне $NP$ прямоугольника $MNPK$ (см. рис.), у которого $MK =14$ и $MN = 8$, отмечена точка $A$ так, что $∠ MAN = 45^{°}$. Найдите $AK$.
Решение
Треугольник MNA - прямоугольный и один из углов равен $45^{°}$ => треугольник равнобедренный => $AN=MN=8$
$AP=PN-AN=14-8=6$
Найдем AK по теореме Пифагора:
$AP^2+PK^2=AK^2 $
$6^2+8^2=AK^2 $
$36+64=AK^2 $
$AK^2=100$
$AK=10 $
Задача 19
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 12, а один из углов между боковой cтороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
Решение
Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (12-4):2=4$
Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=4, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.
$S={a+b}/{2}∙h= {4+12}/{2}∙4=32$
Задача 20
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:
$16^2+30^2=x^2$
$256+900=x^2$
$x^2=1156$
$x=34$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
