Медиана равностороннего треугольника является высотой, а значит образует прямоугольный треугольник. Медиана делит основание пополам, а значит половина нижнего основания равна 5√3. Пусть медиана - это x. По теореме Пифагора получаем:

$(5√3)^2+x^2=(10√3)^2 $

$75+x^2=300$

$x^2=300-75$

$x^2=225$

$x=15$

Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$20^2-12^2=x^2$

$400-144=x^2$

$x^2=256$

$x=16$

1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$

2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$

3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$

Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (12-4):2=4$

Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=4, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.

$S={a+b}/{2}∙h= {4+12}/{2}∙4=32$

Угол D = 61*2=122 градуса (биссектриса делит угол на две равные части).
Угол С (острый) = 180 - 122 = 58 градусов (Сумма соседних углов равна 180 градусов).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 18 · 7 = 63$

1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-126°=54°$

2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=54°$

3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-54°-54°=72°$

Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={28}/{4} = 7 $

Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой, а значит делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Пусть половина нижнего основания - это x. Тогда сторона треугольника - это 2х. По теореме Пифагора получаем:

$(13√3)^2+x^2=(2x)^2 $

$507+x^2=4x^2$

$x^2-4x^2=-507$

$-3x^2=-507$

$x^2=169$

$x=13$

По определению, синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $sinB = {AC}/{AB}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:

${7}/{12} = {x}/{48}$

По правилу пропорции получаем:

$12x=7·48$

$12x=336$

$x={336}/{12}$

$x=28$

$AC = 28$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${34}/{2}=17$

Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (9-3):2=3$

Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=3, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.

$S={a+b}/{2}∙h= {3+9}/{2}∙3=18$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=48:2=24

$24^2+x^2=25^2$

$576 + x^2=625$

$x^2=625-576$

$x^2=49$

$x=7 $ - высота

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·48·7 = 168$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b·sinα$, где a,b - стороны, sinα - синус угла между ними. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}·a·b·sinα = {1}/{2} · 9 · 16 · {7}/{12}= 42$

1) MN является средней линией, так как делит соседние стороны пополам

2) Чтобы найти среднюю линию, нужно поделить пополам сторону, которая ей параллельна: $MN = AC:2 = 62:2=31$