В квадрате все стороны равны, а все углы прямые, из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем гипотенузу, которая является диагональю квадрата (d):

$d^2=(3√2)^2+(3√2)^2$

$d^2=18+18$

$d^2=36$

$d=6$

Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 36:2=18$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$

Треугольник MNA - прямоугольный и один из углов равен $45^{°}$ => треугольник равнобедренный => $AN=MN=8$

$AP=PN-AN=14-8=6$

Найдем AK по теореме Пифагора:

$AP^2+PK^2=AK^2 $

$6^2+8^2=AK^2 $

$36+64=AK^2 $

$AK^2=100$

$AK=10 $

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 18 · 7 = 63$

Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-44-72=64$

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами углов ромба

$∠BAC=∠CAD=28^°$

Для того, чтобы найти величину тупого угла ∠ABC, вычислим сначала величину острого угла ∠BAD:

$∠BAD=∠BCD=28^°+28^°=56^°$

$∠ABC={(360^°-56^°-56^°)}/{2}={248^°}/{2}=124^°$

1) MN является средней линией, так как делит соседние стороны пополам

2) Чтобы найти среднюю линию, нужно поделить пополам сторону, которая ей параллельна: $MN = AC:2 = 62:2=31$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$15^2+x^2=39^2$

$225+ x^2=1521$

$x^2=1521-225$

$x^2=1296$

$x=36 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$

Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет угла B - это BC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ cosB={BC}/{AB}={14}/{50} = 0,28 $

Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$20^2-12^2=x^2$

$400-144=x^2$

$x^2=256$

$x=16$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$

По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:

${11}/{15} = {x}/{75}$

По правилу пропорции получаем:

$15x=11·75$

$15x=825$

$x={825}/{15}$

$x=55$

$BC = 55$

По определению, синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $sinB = {AC}/{AB}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:

${7}/{12} = {x}/{48}$

По правилу пропорции получаем:

$12x=7·48$

$12x=336$

$x={336}/{12}$

$x=28$

$AC = 28$

Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$41^2-40^2=x^2$

$1681-1600=x^2$

$x^2=81$

$x=9$