Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$

Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (9-3):2=3$

Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=3, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.

$S={a+b}/{2}∙h= {3+9}/{2}∙3=18$

По определению, тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Следовательно, $tgB = {AC}/{BC}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:

${9}/{7} = {x}/{42}$

По правилу пропорции получаем:

$7x=9·42$

$7x=378$

$x={378}/{7}$

$x=54$

$AC = 54$

В квадрате все стороны равны, а все углы прямые, из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем гипотенузу, которая является диагональю квадрата (d):

$d^2=(3√2)^2+(3√2)^2$

$d^2=18+18$

$d^2=36$

$d=6$

Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$41^2-40^2=x^2$

$1681-1600=x^2$

$x^2=81$

$x=9$

1) Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам, найдем AM и MC: $AM = MC = 26:2 = 13$

2) Треугольник BMC - равнобедренный, а значит его высота является медианой и делит основание MC пополам: $MH = HC = 13:2=6,5$

3) $AH = AM + MH = 13 + 6,5=19,5$

Видим, что внешний угол является смежным с внутренним углом C, сумма смежных углов 180°. Находим внешний угол: $180-142=38$

По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:

${11}/{15} = {x}/{75}$

По правилу пропорции получаем:

$15x=11·75$

$15x=825$

$x={825}/{15}$

$x=55$

$BC = 55$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$15^2+x^2=39^2$

$225+ x^2=1521$

$x^2=1521-225$

$x^2=1296$

$x=36 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=48:2=24

$24^2+x^2=25^2$

$576 + x^2=625$

$x^2=625-576$

$x^2=49$

$x=7 $ - высота

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·48·7 = 168$

1) MN является средней линией, так как делит соседние стороны пополам

2) Чтобы найти среднюю линию, нужно поделить пополам сторону, которая ей параллельна: $MN = AC:2 = 62:2=31$

1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$

2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$

3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b·sinα$, где a,b - стороны, sinα - синус угла между ними. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}·a·b·sinα = {1}/{2} · 9 · 16 · {7}/{12}= 42$

Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-38-89=53$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${22}/{2}=11$