Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:

$41^2-40^2=x^2$

$1681-1600=x^2$

$x^2=81$

$x=9$

Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет угла B - это BC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ cosB={BC}/{AB}={14}/{50} = 0,28 $

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=12:2=6

$6^2+x^2=10^2$

$36 + x^2=100$

$x^2=100-36$

$x^2=64$

$x=8 $ - высота

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·12·8 = 48$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$

Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:

$8^2+15^2=x^2$

$64+225=x^2$

$x^2=289$

$x=17$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${22}/{2}=11$

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам => $OA=OD=OC=OB$

Тогда треугольники AOD, AOB, COB, COD - равнобедренные и их углы при основании равны

$∠OAB=∠OBA=57°$, тогда $∠AOB = 180° - 57° - 57° = 66°$

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами углов ромба

$∠BAC=∠CAD=28^°$

Для того, чтобы найти величину тупого угла ∠ABC, вычислим сначала величину острого угла ∠BAD:

$∠BAD=∠BCD=28^°+28^°=56^°$

$∠ABC={(360^°-56^°-56^°)}/{2}={248^°}/{2}=124^°$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b·sinα$, где a,b - стороны, sinα - синус угла между ними. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}·a·b·sinα = {1}/{2} · 9 · 16 · {7}/{12}= 42$

1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-126°=54°$

2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=54°$

3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-54°-54°=72°$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$15^2+x^2=39^2$

$225+ x^2=1521$

$x^2=1521-225$

$x^2=1296$

$x=36 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$

1) Высота образует угол 90°

2) Рассмотрим треугольник ABH, в нем мы знаем два угла, а так как сумма углов любого треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠ABH=180 - 82 - 90 = 8°$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${34}/{2}=17$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 20 · 12 = 120$

Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 16:2=8$