Задание 15. Углы, треугольники, четырехугольники, многоугольники и их элементы. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
На рисунке прямые а и в параллельны. ∠ 1 на 23 градуса больше ∠ 6. Найдите величину ∠6.
Решение
1) Пусть $∠6 = x$, тогда $∠1 = x+23$
2) $∠1=∠4=x+23$ (как вертикальные углы)
3) Так как ∠4 и ∠6 односторонние, то в сумме они будут давать $180^°$.Составим уравнение:
$∠4+∠6=180$
$x+x+23=180$
$2x=180-23$
$2x=157$
$x=78,5 - ∠6$
Задача 2
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=78°,AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$
Задача 3
В треугольнике ABC угол C равен 142°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Решение
Видим, что внешний угол является смежным с внутренним углом C, сумма смежных углов 180°. Находим внешний угол: $180-142=38$
Задача 4
Сторона ромба равна 22, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$
Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°
Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${22}/{2}=11$
Задача 5
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, AC=28. Найдите tgB.
Решение
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={28}/{4} = 7 $
Задача 6
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=82°,AD – биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$
Задача 7
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 39
Решение
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:
$15^2+x^2=39^2$
$225+ x^2=1521$
$x^2=1521-225$
$x^2=1296$
$x=36 $ - второй катет
Теперь найдем площадь:
$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·15·36 = 270$
Задача 8
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 111°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-111°=69°$
2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=69°$
3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-69°-69°=42°$
Задача 9
В треугольнике два угла равны 44° и 72°.Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-44-72=64$
Задача 10
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 12, а один из углов между боковой cтороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
Решение
Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (12-4):2=4$
Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=4, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.
$S={a+b}/{2}∙h= {4+12}/{2}∙4=32$
Задача 11
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 16 и 34 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Пусть искомый катет - это х. По обратной теореме Пифагора, чтобы найти катет, нужно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета, получаем:
$34^2-16^2=x^2$
$1156-256=x^2$
$x^2=900$
$x=30$
Задача 12
В треугольнике ABC известно, что AC=16, BM – медиана, BM=12. Найдите АM.
Решение
Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 16:2=8$
Задача 13
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $sinB={7}/{12},$ AB=48. Найдите AC.
Решение
По определению, синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $sinB = {AC}/{AB}$. Знаем все, кроме AC, обозначим AC - x и подставляем в формулу:
${7}/{12} = {x}/{48}$
По правилу пропорции получаем:
$12x=7·48$
$12x=336$
$x={336}/{12}$
$x=28$
$AC = 28$
Задача 14
На стороне $NP$ прямоугольника $MNPK$ (см. рис.), у которого $MK =14$ и $MN = 8$, отмечена точка $A$ так, что $∠ MAN = 45^{°}$. Найдите $AK$.
Решение
Треугольник MNA - прямоугольный и один из углов равен $45^{°}$ => треугольник равнобедренный => $AN=MN=8$
$AP=PN-AN=14-8=6$
Найдем AK по теореме Пифагора:
$AP^2+PK^2=AK^2 $
$6^2+8^2=AK^2 $
$36+64=AK^2 $
$AK^2=100$
$AK=10 $
Задача 15
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC=82° . Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
1) Высота образует угол 90°
2) Рассмотрим треугольник ABH, в нем мы знаем два угла, а так как сумма углов любого треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠ABH=180 - 82 - 90 = 8°$
Задача 16
Сторона квадрата равна 3√2 . Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
В квадрате все стороны равны, а все углы прямые, из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем гипотенузу, которая является диагональю квадрата (d):
$d^2=(3√2)^2+(3√2)^2$
$d^2=18+18$
$d^2=36$
$d=6$
Задача 17
В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC=26 и BC=BM. Найдите AH.
Решение
1) Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам, найдем AM и MC: $AM = MC = 26:2 = 13$
2) Треугольник BMC - равнобедренный, а значит его высота является медианой и делит основание MC пополам: $MH = HC = 13:2=6,5$
3) $AH = AM + MH = 13 + 6,5=19,5$
Задача 18
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $cosB={11}/{15},$ AB=75. Найдите BC.
Решение
По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:
${11}/{15} = {x}/{75}$
По правилу пропорции получаем:
$15x=11·75$
$15x=825$
$x={825}/{15}$
$x=55$
$BC = 55$
Задача 19
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой cтороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
Решение
Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (9-3):2=3$
Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=3, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.
$S={a+b}/{2}∙h= {3+9}/{2}∙3=18$
Задача 20
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$
Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°
Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${34}/{2}=17$
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
