Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={28}/{4} = 7 $

Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 36:2=18$

1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-126°=54°$

2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=54°$

3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-54°-54°=72°$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${34}/{2}=17$

По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:

${11}/{15} = {x}/{75}$

По правилу пропорции получаем:

$15x=11·75$

$15x=825$

$x={825}/{15}$

$x=55$

$BC = 55$

Медиана равностороннего треугольника является высотой, а значит образует прямоугольный треугольник. Медиана делит основание пополам, а значит половина нижнего основания равна 5√3. Пусть медиана - это x. По теореме Пифагора получаем:

$(5√3)^2+x^2=(10√3)^2 $

$75+x^2=300$

$x^2=300-75$

$x^2=225$

$x=15$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ah$, где a - сторона, h - высота. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ah = {1}/{2} · 18 · 17 = 153$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 20 · 12 = 120$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=12:2=6

$6^2+x^2=10^2$

$36 + x^2=100$

$x^2=100-36$

$x^2=64$

$x=8 $ - высота

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·12·8 = 48$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$

Угол D = 61*2=122 градуса (биссектриса делит угол на две равные части).
Угол С (острый) = 180 - 122 = 58 градусов (Сумма соседних углов равна 180 градусов).

Треугольник MNA - прямоугольный и один из углов равен $45^{°}$ => треугольник равнобедренный => $AN=MN=8$

$AP=PN-AN=14-8=6$

Найдем AK по теореме Пифагора:

$AP^2+PK^2=AK^2 $

$6^2+8^2=AK^2 $

$36+64=AK^2 $

$AK^2=100$

$AK=10 $

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$28^2+x^2=100^2$

$784+ x^2=10000$

$x^2=10000-784$

$x^2=9216$

$x=96 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·28·96 = 1344$

Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-38-89=53$

Поскольку один из углов ромба 150°, то смежный с ним угол равен $180°-150°=30°$

Высота ромба, проведенная к стороне образует прямоугольный треугольник, в котором высота является катетом, лежащим напротив угла 30°

Следовательно, высота равна половине гипотенузы (стороны ромба). Высота ромба: ${22}/{2}=11$