По определению синуса острого угла:

$sin∠B={AC}/{AB}$.

Подставим известные значения:

${5}/{17}={AC}/{51}$.

Выразим AC:

$AC=51·{5}/{17}$.

$AC=15$.

Ответ: 15.

В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой.

Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$h={a√3}/{2}$,

где $a$ — сторона треугольника.

По условию $h=11√3$.

Подставим значение:

${a√3}/{2}=11√3$.

Разделим обе части равенства на $√3$:

${a}/{2}=11$.

Тогда

$a=22$.

Ответ: 22.

Так как BM — медиана, то точка M является серединой стороны AC, следовательно, AM = MC.

По условию BM = MC, значит, треугольник BMC равнобедренный.

Тогда ∠MBC = ∠BCM = 56°.

Найдём угол при вершине M:

∠BMC = 180° − 56° − 56° = 68°.

Так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то

∠BMA = 180° − 68° = 112°.

По условию BM = AM, значит, треугольник ABM равнобедренный.

Следовательно, его углы при основании равны:

(180° − 112°) : 2 = 34°.

Значит, ∠A = 34°.

Ответ: 34.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

$S={1}/{2}$·AB·BC·sin∠ABC$.

Подставим известные значения:

$S={1}/{2}·20·7·{2}/{5}$.

Выполним вычисления:

$S=10·7·{2}/{5}$.

$S=70·{2}/{5}$=28.

Ответ: 28.

По условию AK = CK, значит, треугольник AKC равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

∠KAC = ∠ACK.

Так как точка K лежит на стороне BC, то

∠ACK = ∠C = 16°.

Следовательно,

∠KAC = 16°.

Так как AK — биссектриса ∠A, то

∠BAK = ∠KAC = 16°.

Найдём ∠A:

∠A = 16° + 16° = 32°.

Сумма углов треугольника равна 180°:

∠B = 180° − 32° − 16° = 132°.

Ответ: 132.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ah$, где a - сторона, h - высота. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ah = {1}/{2} · 18 · 17 = 153$

Так как BM - медиана и делит сторону пополам, а нам известна сторона AC, то чтобы найти AM, нужно поделить AC на 2: $AM = 16:2=8$

Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет угла B - это AC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ sinB={AC}/{AB}={24}/{25} = 0,96 $

1) Видим, что внешний угол при вершине С является смежным внутреннему, найдем внутренний угол при вершине C^ $180°-126°=54°$

2) Так как треугольник ABC - равнобедренный, то углы при основании равны, а значит $∠A=54°$

3) Сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: $∠B = 180°-54°-54°=72°$

По определению, косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, $cosB = {BC}/{AB}$. Знаем все, кроме BC, обозначим BC - x и подставляем в формулу:

${11}/{15} = {x}/{75}$

По правилу пропорции получаем:

$15x=11·75$

$15x=825$

$x={825}/{15}$

$x=55$

$BC = 55$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ab$, где a,b - катеты. Подставляем наши катеты в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ab = {1}/{2} · 20 · 12 = 120$

Биссектриса равностороннего треугольника является медианой и высотой, а значит делит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. Пусть половина нижнего основания - это x. Тогда сторона треугольника - это 2х. По теореме Пифагора получаем:

$(13√3)^2+x^2=(2x)^2 $

$507+x^2=4x^2$

$x^2-4x^2=-507$

$-3x^2=-507$

$x^2=169$

$x=13$

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами углов ромба

$∠BAC=∠CAD=28^°$

Для того, чтобы найти величину тупого угла ∠ABC, вычислим сначала величину острого угла ∠BAD:

$∠BAD=∠BCD=28^°+28^°=56^°$

$∠ABC={(360^°-56^°-56^°)}/{2}={248^°}/{2}=124^°$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·b$, где a,b - катеты. Видим, что для формулы нам не хватает катета, обозначим его за x и найдем его по теореме Пифагора:

$28^2+x^2=100^2$

$784+ x^2=10000$

$x^2=10000-784$

$x^2=9216$

$x=96 $ - второй катет

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·b = {1}/{2}·28·96 = 1344$