Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет угла B - это AC, прилежащий катет - BC. Нам все известно, находим: $ tgB={AC}/{BC}={30}/{10} = 3 $

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам => $OA=OD=OC=OB$

Тогда треугольники AOD, AOB, COB, COD - равнобедренные и их углы при основании равны

$∠OAB=∠OBA=57°$, тогда $∠AOB = 180° - 57° - 57° = 66°$

Видим, что внешний угол является смежным с внутренним углом C, сумма смежных углов 180°. Находим внешний угол: $180-142=38$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 78:2=39$

Пусть гипотенуза - это х. По теореме Пифагора получаем:

$8^2+15^2=x^2$

$64+225=x^2$

$x^2=289$

$x=17$

Медиана равностороннего треугольника является высотой, а значит образует прямоугольный треугольник. Медиана делит основание пополам, а значит половина нижнего основания равна 5√3. Пусть медиана - это x. По теореме Пифагора получаем:

$(5√3)^2+x^2=(10√3)^2 $

$75+x^2=300$

$x^2=300-75$

$x^2=225$

$x=15$

Сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому чтобы найти третий угол нужно вычесть из 180° два известных нам угла: $180-38-89=53$

Так как AD - биссектриса и делит угол пополам, а нам известен ∠BAC, то чтобы найти ∠BAD, нужно поделить на 2: $∠BAD = 82:2=41$

Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (9-3):2=3$

Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=3, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.

$S={a+b}/{2}∙h= {3+9}/{2}∙3=18$

1) Находим сколько частей у нас в соотношении: $2+3=5$

2) Так как смежные углы дают в сумме $180^°$, находим сколько градусов будет 1 часть из соотношения: $180^°:5=36^°$

3) Так как больший угол содержит в себе 3 такие части, находим его: $36^°⋅3=108^°$

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами углов ромба

$∠BAC=∠CAD=28^°$

Для того, чтобы найти величину тупого угла ∠ABC, вычислим сначала величину острого угла ∠BAD:

$∠BAD=∠BCD=28^°+28^°=56^°$

$∠ABC={(360^°-56^°-56^°)}/{2}={248^°}/{2}=124^°$

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}ah$, где a - сторона, h - высота. Подставляем наши данные в формулу, получаем:

$S={1}/{2}ah = {1}/{2} · 18 · 17 = 153$

Для площади не хватает высоты, проведем высоты СH и BF. Найдем AF и HD: $ (12-4):2=4$

Рассмотрим треугольник CHD, в нем мы знаем два угла, найдем третий: $180-90-45=45$ => треугольник CHD - равнобедренный, CH=HD=4, а значит теперь мы знаем высоту и можем найти площадь.

$S={a+b}/{2}∙h= {4+12}/{2}∙4=32$

Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащий катет угла B - это AC, гипотенуза - AB. Нам все известно, находим: $ sinB={AC}/{AB}={24}/{25} = 0,96 $

Площадь треугольника можно найти по формуле: $S={1}/{2}·a·h$, где a - сторона, h - высота. Видим, что для формулы нам не хватает высоты, проведем высоту BH. Вспомним, что в равнобедренном треугольнике высота является также медианой и делит AC пополам, значит AH=HC=12:2=6

$6^2+x^2=10^2$

$36 + x^2=100$

$x^2=100-36$

$x^2=64$

$x=8 $ - высота

Теперь найдем площадь:

$S={1}/{2}·a·h = {1}/{2}·12·8 = 48$