Задание 14. Арифметическая и геометрическая прогрессии. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?
Решение
Данную задачу проще решить вручную, без формул, но сначала переведем метры в сантиметры: $5,4м=540 см$
1 отскок - $540 см$
2 отскок - $540:3=180 см$
3 отскок - $180:3=60 см$
4 отскок - $60:3=20 см$
5 отскок - $20:3=6,(6) см$-меньше 10 см
Спрашивают номер отскока
Ответ: 5
Задача 2
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла − 8° C .
Решение
Арифметическая прогрессия. Причем нам дана начальная температура (не первая). Найдем температуру вещества через минуту после начала опыта - $-8-5=-13$ градусов. Значит, $a_1=-13, d=-5$. Нужно найти $a_9=a_1+d(n-1)=-13-5(9-1)=-13-40=-53$
Задача 3
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Арифметическая прогрессия. Причем нам потребуется формула суммы прогрессии: $S_n={(a_1+a_n)n}/{2}$
$a_1=19, d=3$, не хватает 10го ряда, найдем его: $a_10=19+3(10-1)=19+27=46$
Теперь найдем cумму: $S_n={(a_1+a_n)n}/{2} = {(19+46)10}/{2}=325$
Задача 4
В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 26 мест, а в восьмом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Арифметическая прогрессия. Мы не знаем сколько мест в первом ряду и не знаем разность d.
Найдем сначала d: ${30-26}/{8-6}=2$
Теперь найдем первый ряд, используя формулу шестого ряда: $a_6=a_1+d(6-1)$
Подставим наши данные в эту формулу: $26=a_1+2(6-1)$
$a_1+10=26$
$a_1=16$
Теперь мы знаем все для того, чтобы найти количество мест в 18 ряду: $a_18=a_1+d(18-1)=16+2(18-1)=16+34=50$
Задача 5
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Данную задачу проще решить вручную, без формул
Через 30 минут - $5·3=15 мг$
Через 60 минут - $15·3=45 мг$
Через 90 минут - $45·3=135 мг$
Через 120 минут - $135·3=405 мг$
Ответ: 405
Задача 6
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Данную задачу проще решить вручную, без формул
Через 6 минут - $640:2=320 мг$
Через 12 минут - $320:2=160 мг$
Через 18 минут - $160:2=80 мг$
Через 24 минуты - $80:2=40 мг$
Через 30 минут - $40:2=20 мг$
Через 36 минут - $20:2=10 мг$
Через 42 минуты - $10:2=5 мг$
Ответ: 5
Задача 7
Бизнесвумен Катя получила в 2015 году прибыль в размере 2000 рублей. Каждый следующий год её прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработала Катя за 2020 год?
Решение
Так как каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то она увеличивалась в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Найдем пятый (с 2015 до 2020) член геометрической прогрессии: за 2015 год Катя заработала: $b_5 = 2000*4^4 =512000$ руб.
Задача 8
В первом ряду театра $20$ мест, а в каждом следующем на $2$ больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду?
Решение
Задача 9
Дана арифметическая прогрессия $8$; $3$; $-2$; $...$ . Найдите сумму её первых шести членов.
Решение
$а_1=8$
$ d=a_2-a_1=3-8=-5$
$ a_6=a_1+d(6-1)=8+5d=8+5*(-5)=8-25=-17$
$ S_6=(a_1+a_6)6/2=(8-17)*3=-9*3=-27$
Задача 10
Найдите количество отрицательных членов числовой последовательности, заданной формулой $a_{n}=1-{41} / {3n-5}$.
Решение
1-41/(3n-5)<0
(3n-5-41)/(3n-5)<0
(3n-46)/(3n-5)<0
n>5/3; n<46/3; n=2, 3, 4.....15. Количество отрицательных членов прогрессии равно 14
Задача 11
Дана арифметическая прогрессия $10$; $7$; $4$; $…$ . Найдите сумму первых десяти её членов.
Решение
$S_10={a_1+a_10}/2*10=(10-17)*5=-7*5=-35$
Задача 12
Последовательность $a_1, a_2, a_3…, a_n, …$ ($n∈ N$) задана условиями: $a_1=-3$, $a_{n+1}=a_n-2$. Найдите сумму первых девяти членов.
Решение
$S_9=(a_1+a_9)*9/2$
$ d=a(n+1)-a(n)=-2$
$ a_9=a_1+8_d=-3+8*(-2)=-3-16=-19$
$ S_9=(-3-19)*9/2=-22*9/2=-11*9=-99$
Задача 13
Первый член геометрической прогрессии равен $-729$, а второй член равен $243$. Найдите шестой член этой прогрессии.
Решение
$b_6=b_1*q^(6-1)=-729*(-1/3)^5=-729*(-1/243)=3$
Задача 14
Дана арифметическая прогрессия: $130$; $123$; $116$; $…$ Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
Решение
Задача 15
Геометрическая прогрессия задана условиями $b_1=-7$, $b_{n+1}=-2{b_n} $. Найдите $b_6$.
Решение
Задача 16
Дана арифметическая прогрессия: $22$; $17$; $12$; $…$ Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
Решение
Задача 17
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: $…$; $-2$; $y$; $-98$; $-686$; $…$ Найдите член прогрессии, обозначенный буквой $y$.
Решение
Задача 18
Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: $0{{,}}5$; $1{{,}}5$; $4{{,}}5$; $…$ Найдите сумму первых $8$ её членов.
Решение
Задача 19
Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, знаменатель которой равен $5$, $ b_1=12$. Найдите $ b_4$.
Решение
Задача 20
Геометрическая прогрессия задана условиями $b_1=6$, $b_{n+1}=-4{b_n} $. Найдите $b_5$.
Решение
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
