Задание 13. Неравенства, системы неравенств. ОГЭ 2027 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Укажите решение неравенства $81x^2>64$.
Решение
Решим неравенство:
$81x^2-64>0$.
Разложим разность квадратов на множители:
$(9x-8)·(9x+8)>0$.
Найдём нули множителей:
$9x-8=0$, откуда $x={8}/{9}$.
$9x+8=0$, откуда $x=-{8}/{9}$.
Отметим точки $-${8}/{9}$ и ${8}/{9}$ на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных промежутках.
$(-∞;-{8}/{9})$ — «+», $(-{8}/{9};{8}/{9})$ — «−», $({8}/{9};+∞)$ — «+».
Выбираем промежутки, на которых произведение положительно. Точки $-${8}/{9}$ и ${8}/{9}$ не включаем, так как неравенство строгое.
Получаем $(-∞;-{8}/{9})∪({8}/{9};+∞)$.
Этому соответствует вариант 1.
Ответ: 1.
Задача 2
Укажите решение неравенства $(x+3)·(x-6)>0$.
1) $(6;+∞)$
2) $(-3;+∞)$
3) $(-∞;-3)∪(6;+∞)$
4) $(-3;6)$
Решение
Решим неравенство:
$(x+3)·(x-6)>0$.
Найдём нули множителей:
$x+3=0$, откуда $x=-3$.
$x-6=0$, откуда $x=6$.
Отметим точки −3 и 6 на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных промежутках.
$(-∞;-3)$ — «+», $(-3;6)$ — «−», $(6;+∞)$ — «+».
Выбираем промежутки, на которых произведение положительно. Точки $-3$ и $6$ не включаем, так как неравенство строгое.
Получаем $(-∞;-3)∪(6;+∞)$.
Этому соответствует вариант 3.
Ответ: 3.
Задача 3
Укажите решение системы неравенств $\{{\table {-9+3x<0{,}}; {2-3x>-10};}$.
1) $(-∞;3)$
2) $(-∞;4)$
3) $(3;+∞)$
4) $(3;4)$
Решение
Решим первое неравенство:
$-9+3x<0$.
$3x<9$.
$x<3$.
Решим второе неравенство:
$2-3x>-10$.
$-3x>-12$.
Разделим обе части неравенства на число $-3$. Так как делим на отрицательное число, знак неравенства изменится:
$x<4$.
Решением системы является пересечение промежутков $(-∞;3)$ и $(-∞;4)$.
$(-∞;3)∩(-∞;4)=(-∞;3)$.
Этому соответствует вариант 1.
Ответ: 1.
Задача 4
Укажите решение системы неравенств $\{{\table {x-7,4≥0{,}}; {x+2≥3};}$.
Решение
Решим первое неравенство:
$x-7,4≥0$.
$x≥7,4$.
Решим второе неравенство:
$x+2≥3$.
$x≥1$.
Решением системы является пересечение найденных промежутков:
$[7,4;+∞)∩[1;+∞)=[7,4;+∞)$.
Этому соответствует вариант 3.
Ответ: 3.
Задача 5
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) $x^2-6x<0$
2) $x^2-6x>0$
3) $x^2-36<0$
4) $x^2-36>0$
Решение
По рисунку видно, что решением являются два промежутка:
$(-∞;0)∪(6;+∞)$.
Проверим варианты.
1) $x^2-6x<0$.
Разложим выражение на множители:
$x(x-6)<0$.
Нули множителей: $x=0$ и $x=6$.
Решением является $(0;6)$, не подходит.
2) $x^2-6x>0$.
Разложим выражение на множители:
$x(x-6)>0$.
Нули множителей: $x=0$ и $x=6$.
Решением является $(-∞;0)∪(6;+∞)$, что совпадает с рисунком.
3) $x^2-36<0$ имеет решение $(-6;6)$, не подходит.
4) $x^2-36>0$ имеет решение $(-∞;-6)∪(6;+∞)$, не подходит.
Следовательно, верным является вариант 2.
Ответ: 2.
Задача 6
Укажите решение системы неравенств $\{{\table {-5+5x<0{,}}; {4-3x<31};}$.
1) $(-9;1)$
2) нет решений
3) $(-9;+∞)$
4) $(-∞;1)$
Решение
Решим первое неравенство:
$-5+5x<0$.
$5x<5$.
$x<1$.
Решим второе неравенство:
$4-3x<31$.
$-3x<27$.
Разделим обе части неравенства на число $-3$. Так как делим на отрицательное число, знак неравенства изменится:
$x>-9$.
Решением системы является пересечение промежутков $(-∞;1)$ и $(-9;+∞)$.
$(-∞;1)∩(-9;+∞)=(-9;1)$.
Этому соответствует вариант 1.
Ответ: 1.
Задача 7
Укажите решение неравенства $-3-3x>7x-9$.
1) $(0,6;+∞)$
2) $(-∞;1,2)$
3) $(1,2;+∞)$
4) $(-∞;0,6)$
Решение
Решим неравенство:
$-3-3x>7x-9$.
Перенесём переменные в левую часть, а числа — в правую:
$-3x-7x>-9+3$.
$-10x>-6$.
Разделим обе части неравенства на число $-10$. Так как делим на отрицательное число, знак неравенства изменится:
$x<0,6$.
Этому соответствует промежуток $(-∞;0,6)$.
Ответ: 4.
Задача 8
Укажите решение неравенства $(x+1)·(x-6)≤0$.
Решение
Решим неравенство:
$(x+1)·(x-6)≤0$.
Найдём нули множителей:
$x+1=0$, откуда $x=-1$.
$x-6=0$, откуда $x=6$.
Отметим точки −1 и 6 на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных промежутках.
$(-∞;-1)$ — «+», $(-1;6)$ — «−», $(6;+∞)$ — «+».
Выбираем промежуток, на котором произведение неположительно, и включаем точки, в которых произведение равно нулю.
Получаем промежуток $[-1;6]$.
Этому соответствует вариант 1.
Ответ: 1.
Задача 9
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) $x^2+16≥0$
2) $x^2-16≤0$
3) $x^2+16≤0$
4) $x^2-16≥0$
Решение
По рисунку видно, что решением является отрезок $[-4;4]$.
Проверим варианты.
1) $x^2+16≥0$.
Так как $x^2≥0$ при любом значении $x$, то $x^2+16>0$ для всех $x$.
Следовательно, решением являются все действительные числа, что не соответствует рисунку.
2) $x^2-16≤0$.
Перенесём 16 в правую часть:
$x^2≤16$.
Следовательно, $-4≤x≤4$.
Получаем отрезок $[-4;4]$, который совпадает с рисунком.
3) $x^2+16≤0$ не имеет решений, так как $x^2+16>0$ при любом значении $x$.
4) $x^2-16≥0$ имеет решение $(-∞;-4]∪[4;+∞)$, не подходит.
Следовательно, верным является вариант 2.
Ответ: 2.
Задача 10
Укажите решение неравенства $3x-x^2>0$.
1) $(3;+∞)$
2) $(-∞;0)∪(3;+∞)$
3) $(0;+∞)$
4) $(0;3)$
Решение
Разложим выражение на множители:
$3x-x^2=x(3-x)$.
Получим неравенство:
$x·(3-x)>0$.
Найдём нули множителей:
$x=0$.
$3-x=0$, откуда $x=3$.
Отметим точки 0 и 3 на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных промежутках.
$(-∞;0)$ — «−», $(0;3)$ — «+», $(3;+∞)$ — «−».
Выбираем промежуток, на котором произведение положительно. Точки 0 и 3 не включаем, так как неравенство строгое.
Получаем $(0;3)$.
Этому соответствует вариант 4.
Ответ: 4.
Задача 11
Укажите решение неравенства $6x-x^2<0$.
Решение
Разложим выражение на множители:
$6x-x^2=x(6-x)$.
Получим неравенство:
$x·(6-x)<0$.
Найдём нули множителей:
$x=0$.
$6-x=0$, откуда $x=6$.
Отметим точки 0 и 6 на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных промежутках.
$(-∞;0)$ — «−», $(0;6)$ — «+», $(6;+∞)$ — «−».
Выбираем промежутки, на которых произведение отрицательно. Точки 0 и 6 не включаем, так как неравенство строгое.
Получаем $(-∞;0)∪(6;+∞)$.
Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2.
Задача 12
Укажите решение системы неравенств $\{{\table {-9+3x<0{,}}; {2-3x<-10};}$.
Решение
Решим первое неравенство:
$-9+3x<0$.
$3x<9$.
$x<3$.
Решим второе неравенство:
$2-3x<-10$.
$-3x<-12$.
Разделим обе части неравенства на число $-3$. Так как делим на отрицательное число, знак неравенства изменится:
$x>4$.
Решением системы является пересечение промежутков $(-∞;3)$ и $(4;+∞)$.
Эти промежутки не пересекаются, поэтому система решений не имеет.
Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2.
Задача 13
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
1) $x^2-5x≤0$
2) $x^2-25≤0$
3) $x^2-5x≥0$
4) $x^2-25≥0$
Решение
По рисунку видно, что решением является отрезок $[0;5]$.
Проверим варианты.
1) $x^2-5x≤0$.
Разложим выражение на множители:
$x(x-5)≤0$.
Нули множителей: $x=0$ и $x=5$.
Произведение неположительно на отрезке $[0;5]$, что совпадает с рисунком.
2) $x^2-25≤0$ имеет решение $[-5;5]$, не подходит.
3) $x^2-5x≥0$ имеет решение $(-∞;0]∪[5;+∞)$, не подходит.
4) $x^2-25≥0$ имеет решение $(-∞;-5]∪[5;+∞)$, не подходит.
Следовательно, верным является вариант 1.
Ответ: 1.
Задача 14
Укажите решение неравенства $x^2-36>0$.
1) $(-∞;+∞)$
2) $(-∞;-6)∪(6;+∞)$
3) $(-6;6)$
4) нет решений
Решение
Разложим выражение на множители:
$x^2-36=(x-6)·(x+6)$.
Получим неравенство:
$(x-6)·(x+6)>0$.
Найдём нули множителей:
$x-6=0$, откуда $x=6$.
$x+6=0$, откуда $x=-6$.
Отметим точки −6 и 6 на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных промежутках.
$(-∞;-6)$ — «+», $(-6;6)$ — «−», $(6;+∞)$ — «+».
Выбираем промежутки, на которых произведение положительно. Точки $-6$ и $6$ не включаем, так как неравенство строгое.
Получаем $(-∞;-6)∪(6;+∞)$.
Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2.
Задача 15
Укажите решение неравенства $(x+3)·(x-5)≤0$.
1) $(-∞;-3]$
2) $[-3;5]$
3) $(-∞;5]$
4) $(-∞;-3]∪[5;+∞)$
Решение
Решим неравенство:
$(x+3)·(x-5)≤0$.
Найдём нули множителей:
$x+3=0$, откуда $x=-3$.
$x-5=0$, откуда $x=5$.
Отметим точки −3 и 5 на числовой прямой и определим знаки произведения на полученных промежутках.
$(-∞;-3)$ — «+», $(-3;5)$ — «−», $(5;+∞)$ — «+».
Выбираем промежуток, на котором произведение неположительно, и включаем точки, в которых произведение равно нулю.
Получаем $[-3;5]$.
Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2.
Задача 16
Укажите решение неравенства $-3-5x ≤ x+3$.
1) $(-∞;0]$
2) $[-1;+∞)$
3) $[0;+∞)$
4) $(-∞;-1]$
Решение
Решим неравенство: $-3-5x ≤ x+3$
Перенесём $x$ в левую часть, а числа - в правую: $-5x-x ≤ 3+3$
Получим: $-6x ≤ 6$
Поделим обе части неравенства на $-6$, не забывая поменять знак неравенства: $x ≥ -1$
Значит, решением является промежуток $[-1;+∞)$
Это вариант 2
Задача 17
Укажите решение системы неравенств $\{{\table {x+2,7 ≤ 0{,}}; {x+4 ≥ 1};}$
Решение
Решим первое неравенство: $x+2,7 ≤ 0$
Перенесём $2,7$ вправо: $x ≤ -2,7$
Решим второе неравенство: $x+4 ≥ 1$
Перенесём $4$ вправо: $x ≥ -3$
Для системы неравенств нужно найти общую часть решений
Общая часть промежутков $x ≤ -2,7$ и $x ≥ -3$ равна $[-3;-2,7]$
Значит, подходит рисунок 3
Задача 18
Укажите решение системы неравенств $\{{\table {x+2,8 ≤ 0{,}}; {x+0,3 ≤ -1,4};}$
1) $(-∞;-2,8]$
2) $(-∞;-2,8]∪[-1,7;+∞)$
3) $[-2,8;-1,7]$
4) $[-1,7;+∞)$
Решение
Решим первое неравенство: $x+2,8 ≤ 0$
Перенесём $2,8$ вправо: $x ≤ -2,8$
Решим второе неравенство: $x+0,3 ≤ -1,4$
Перенесём $0,3$ вправо: $x ≤ -1,7$
Для системы неравенств нужно найти общую часть решений
Общая часть промежутков $x ≤ -2,8$ и $x ≤ -1,7$ равна $x ≤ -2,8$
Значит, решением системы является промежуток $(-∞;-2,8]$
Это вариант 1
Задача 19
Укажите решение системы неравенств $\{{\table {-5+5x < 0{,}}; {4-3x < 31};}$
Решение
Решим первое неравенство: $-5+5x < 0$
Перенесём $-5$ вправо: $5x < 5$
Поделим обе части на $5$: $x < 1$
Решим второе неравенство: $4-3x < 31$
Перенесём $4$ вправо: $-3x < 27$
Поделим обе части на $-3$, не забывая поменять знак неравенства: $x > -9$
Для системы неравенств нужно найти общую часть решений
Общая часть промежутков $x < 1$ и $x > -9$ равна $(-9;1)$
Значит, подходит рисунок 4
Задача 20
Решите неравенство $5x-5⩽8x+7$.
- $[-4;+∞)$
- $(-∞;-3)$
- $[4;+∞)$
- $(-∞;-4]$
Решение
$5x-8x⩽7+5$
$-3x⩽12$
$x≥-4$
Ответ: 1.
Рекомендуемые курсы подготовки
на бесплатном курсе Турбо
