Будем считать количество программ постепенно для каждого числа слева направо по следующему принципу:

Если число А можно получить с помощью X программ из начального значения, число B можно получить с помощью Y программ из начального значения, а с помощью одной любой команды из условия число C можно получить только из чисел A и B, то количество программ, с помощью которых можно получить число C из начального значения, равно X + Y.

Таблица, отображающая количество программ для каждого отдельного числа, вычисленная по данному правилу:

После числа 10 нельзя пользоваться теми значениями, которые были до числа 10. Поэтому дальнейшая таблица имеет вид:

Ответ: 70.

Будем считать количество программ постепенно для каждого числа слева направо по следующему принципу:

Если число А можно получить с помощью X программ из начального значения, число B можно получить с помощью Y программ из начального значения, а с помощью одной любой команды из условия число C можно получить только из чисел A и B, то количество программ, с помощью которых можно получить число C из начального значения, равно X + Y.

Таблица, отображающая количество программ для каждого отдельного числа, вычисленная по данному правилу:

Ответ: 34

Из числа 2 с помощью команд "Прибавь 2", "Умножь на 2" и "Умножь на 3" невозможно получить нечётное число, т.к. чётное +2 = чётное и чётное *любое = чётное. Следовательно, число 21 получить невозможно, а значит и траектория не может пройти через это число

Ответ: 0.

Будем считать количество программ постепенно для каждого числа слева направо по следующему принципу:

Если число А можно получить с помощью X программ из начального значения, число B можно получить с помощью Y программ из начального значения, а с помощью одной любой команды из условия число C можно получить только из чисел A и B, то количество программ, с помощью которых можно получить число C из начального значения, равно X + Y.

Таблица, отображающая количество программ для каждого отдельного числа, вычисленная по данному правилу:

После числа 12 нельзя пользоваться теми значениями, которые были до числа 12. Поэтому дальнейшая таблица имеет вид:

Вычисление результата при помощи программы на С++:

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    const int n0 = 1, nk = 33;
    int arr[nk + 1];
    for (int i = 0; i < nk + 1; ++i) arr[i] = 0;
    arr[n0] = 1;
    for (int n = n0 + 1; n <= nk; ++n) {
        arr[n] = arr[n - 1]; // Kn-1
        if (n % 2 != 0 && (n - 1) / 2 >= n0) //K(n - 1)/2
            arr[n] += arr[(n - 1) / 2];
        if (n % 2 != 0 && (n + 1) / 2 >= n0) //K(n + 1)/2
            arr[n] += arr[(n + 1) / 2];
        if (n == 7 || n == 14)
            arr[n] = 0;
        if (n == 12)
            for (int i = n - 1; i >=0 ; --i)
                arr[i] = 0;
    }
    cout << arr[nk];
    return 0;
}

Ответ: 96.

Будем считать количество программ постепенно для каждого числа слева направо по следующему принципу:

Если существует Х программ для получения числа А из начального значения и Y программ для числа B, а число C можно получить только из чисел A и B, то количество программ, с помощью которых можно получить число C из начального значения, равно X + Y.

Таблица, отображающая количество программ для каждого отдельного числа, вычисленная по данному правилу:

Например, рассмотри как было получено количество программ для числа 5:
1) можем ли мы получить 5, прибавив единицу? Да, из числа 4
2) можем ли мы получить 5, прибавив предыдущее? Да, начальное значение = 3, для него «предыдущим» считается 2. 3 + 2 = 5
3) можем ли мы получить 5, прибавив следующее? Нет, поскольку начальное значение = 3, а для него «следующее» это 4 и их сумма = 7

Ответ: 82.

Будем считать количество программ постепенно для каждого числа слева направо по следующему принципу:

Если число А можно получить с помощью X программ из начального значения, число B можно получить с помощью Y программ из начального значения, а с помощью одной любой команды из условия число C можно получить только из чисел A и B, то количество программ, с помощью которых можно получить число C из начального значения, равно X + Y.

Таблица, отображающая количество программ для каждого отдельного числа, вычисленная по данному правилу:

После числа 10 нельзя пользоваться теми значениями, которые были до числа 10. Поэтому дальнейшая таблица имеет вид:

Ответ: 45

Заметим, что все числа, получаемые с помощью заданных команд из числа 1, нечётные. Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 1, 3, 5, . . . , 27 (то есть для каждого нечётного числа определим, сколько программ исполнителя существует для его получения). Количество программ, которые преобразуют число 1 в число n, будем обозначать через R(n). Будем считать, что R(1) = 1. Для каждого следующего числа рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число не делится на 5, то оно может быть получено только из предыдущего с помощью команды прибавь 2. Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ для предыдущего числа: R(i) = R(i - 2), i - нечётное. Если число на 5 делится, то вариантов последней команды два: прибавь 2 и умножь на 5, тогда R(i) = R(i-2)+R(i=5), i - нечётное. Заполним соответствующую таблицу по приведённым формулам слева направо:

Ответ: 5.

Количество программ, которые число 1 преобразуют в число 34 и при этом траектория вычислений содержит число 11 равно произведению числа программ, которые преобразуют число 1 в число 11 на число программ, преобразующих число 11 в число 34.

Сначала определим количество программ, преобразующих число 1 в 11. Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 1, 2, 3, . . . , 11 (то есть для каждого из этих чисел определим, сколько программ исполнителя существует для его получения).

Количество программ, которые преобразуют число 1 в число n, будем обозначать через R(n). Будем считать, что R(1) = 1. Для каждого следующего числа рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число не делится на 3, то оно может быть получено только из предыдущего с помощью команды прибавь 1. Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ для предыдущего числа: R(i) = R(i - 1). Если число на 3 делится, то вариантов последней команды два: прибавь 1 и умножь на 3, тогда R(i) = R(i - 1) + R(i/3). Заполним соответствующую таблицу по приведённым формулам слева направо:

Следовательно, количество программ, преобразующих число 1 в 11, равно 5.

Теперь определим количество программ, преобразующих число 11 в 34.

Будем считать, что R(11) = 1. Для каждого следующего числа 12, 13, . . . , 34 рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число не делится на 3, то оно может быть получено только из предыдущего с помощью команды прибавь 1. Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ для предыдущего числа: R(i) = R(i - 1). Если число на 3 делится, то вариантов последней команды два: прибавь 1 и умножь на 3, тогда R(i) = R(i - 1) + R(i/3). Заполним соответствующую таблицу по приведённым формулам слева направо:

Следовательно, количество программ, преобразующих число 11 в 34, равно 2.

Количество программ, которые число 1 преобразуют в число 34 и при этом траектория вычислений содержит число 11, равно 5 · 2 = 10.

Ответ: 10.

x = [0] * (30 + 1) #Заводим список, где индексы - числа, а значения - количества программ
x[7] = 1
for i in range(8, 30 + 1):
    x[i] += x[i - 1]   # Вычесть 1
    if i % 2 == 0:
        x[i] += x[i // 2]   # Разделить на 2
print(x[30])
    

Количество программ, которые число 1 преобразуют в число 15, причём траектория вычислений содержит числа 6 и 10, равно произведению числа программ, преобразующих число 1 в число 6, число 6 в число 10 и число 10 в число 15.

Сначала определим количество программ, преобразующих число 1 в 6. Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 (то есть для каждого из этих чисел определим, сколько программ исполнителя существует для его получения).

Количество программ, которые преобразуют число 1 в число n, будем обозначать через R(n). Будем считать, что R(1) = 1. Для каждого следующего числа i рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число i нечётно, то оно может быть получено либо из i - 1-го с помощью команды прибавь 1, либо из числа i-3-го с помощью команды прибавь 3. Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ для i-1-го и i-3-го чисел: R(i) = R(i-1)+R(i-3). Если число чётно, то вариантов последней команды три: прибавь 1, прибавь 3 и умножь на 2, следовательно, R(i) = R(i-1)+R(i-3)+R(i=2). Заполним соответствующую таблицу по приведённым формулам слева направо:

Следовательно, количество программ, преобразующих число 1 в 6, равно 11.

Теперь определим количество программ, преобразующих число 6 в 10.

Будем считать, что R(10) = 1. Для каждого следующего числа 11, 12, . . . , 15 рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число нечётно, то оно может быть получено либо из i - 1-го с помощью команды прибавь 1, либо из числа i - 3-го с помощью команды прибавь 3. Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ для i - 1-го и i - 3-го чисел: R(i) = R(i - 1) + R(i - 3). Если число чётно, то вариантов последней команды три: прибавь 1, прибавь 3 и умножь на 2, следовательно, R(i) = R(i-1)+R(i-3)+R(i=2). Заполним соответствующую таблицу по приведённым формулам слева направо:

Следовательно, количество программ, преобразующих число 6 в 10, равно 3.

Рассуждая аналогично предыдущим случаям, определим количество программ, преобразующих число 10 в 15.

Следовательно, количество программ, преобразующих число 10 в 15, равно 4.

Количество программ, которые число 1 преобразуют в число 15, причём траектория вычислений содержит числа 6 и 10, равно 11 · 3 · 4 = 132.

Ответ: 132.

Из числа 1 с помощью команд "Прибавь 2" и "Умножь на 3" невозможно получить чётное число, т.к. нечётное +2 = нечётное и нечётное *3 = нечётное. Следовательно, число 58 получить невозможно.

Ответ: 0.

Количество программ, которые число 8 преобразуют в число 22, и при этом траектория вычислений содержит число 17, равно произведению числа программ, которые преобразуют число 8 в число 17, и числа программ, преобразующих число 17 в число 22.

Сначала определим количество программ, преобразующих число 8 в 17. Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 8, 9, 10, . . . , 17 (то есть для каждого из этих чисел определим, сколько программ исполнителя существует для его получения).

Количество программ, которые преобразуют число k в число n, будем обозначать через R(n). Будем считать, что R(k) = 1. Для чисел k + 1, k + 2 R(i) = R(i - 1). Для числа k + 3 количество программ, с помощью которых может быть получено это число из числа k, можно посчитать по формуле R(i) = R(i - 1) + R(i - 3). Количество программ, с помощью которых может быть получено каждое следующее число из числа k, можно посчитать по формуле R(i) = R(i - 1) + R(i - 3) + R(i - 4).

Следовательно, количество программ, преобразующих число 8 в 17, равно 40.

Теперь определим количество программ, преобразующих число 17 в 22.

Будем считать, что R(17) = 1. Для каждого следующего числа 18, 19, . . . , 22 рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя.

Заполним соответствующую таблицу по приведённым формулам слева направо:

Следовательно, количество программ, преобразующих число 17 в 22, равно 6.

Количество программ, которые число 8 преобразуют в число 22 и при этом траектория вычислений содержит число 17, равно 40 · 6 = 240.

Поиск ответа при помощи программы на С++:

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    const int n0 = 8, nk = 22;
    int arr[nk + 1];
    for (int i = 0; i < nk + 1; ++i) arr[i] = 0;
    arr[n0] = 1;
    for (int n = n0 + 1; n <= nk; ++n) {
        if (n - 1 >= n0) arr[n] += arr[n - 1]; // Kn-1
        if (n - 3 >= n0) arr[n] += arr[n - 3]; // Kn-3
        if (n - 4 >= n0) arr[n] += arr[n - 4]; // Kn-4

        if (n == 17)
            for (int i = n - 1; i >= 0; --i) arr[i] = 0;
    }
    cout << arr[nk];
    return 0;
}

Ответ: 240.

Из числа 3 с помощью команд "Прибавь 2" и "Умножь на 3" невозможно получить чётное число, т.к. нечётное +2 = нечётное и нечётное *3 = нечётное. Следовательно, число 14 получить невозможно. Тогда никакая траектория из числа 3 в число 47 не пройдёт через число 14.

Ответ: 0.

Будем считать количество программ постепенно для каждого числа слева направо по следующему принципу:

Если число А можно получить с помощью X программ из начального значения, число B можно получить с помощью Y программ из начального значения, а с помощью одной любой команды из условия число C можно получить только из чисел A и B, то количество программ, с помощью которых можно получить число C из начального значения, равно X + Y.

Из числа 3 с помощью команд "Прибавь 2" и "Умножь на 3" невозможно получить чётное число. Значит, чётные числа можно не писать.

Таблица, отображающая количество программ для каждого отдельного числа, вычисленная по данному правилу:

Поиск ответа при помощи программы на С++:

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    const int n0 = 3, nk = 23;
    int arr[nk + 1];
    for (int i = 0; i < nk + 1; ++i) arr[i] = 0;
    arr[n0] = 1;
    for (int n = n0 + 1; n <= nk; ++n) {
        if (n - 2 >= n0) arr[n] = arr[n - 2]; // Kn-1
        if (n % 3 == 0 && (n / 3) >= n0) //K(n / 3) - умножь на 3
            arr[n] += arr[n / 3];
    }
    cout << arr[nk];
    return 0;
}

Ответ: 4.

Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 1, 2, 3, . . . , 8 (то есть для каждого из чисел определим, сколько программ исполнителя существует для его получения). Количество программ, которые преобразуют число 1 в число n, будем обозначать через R(n). Число 2 из числа 1 можно получить с помощью команды 1 (также будем считать, что R(1) = 1). Для каждого следующего числа i рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число i не делится на 3, то оно может быть получено либо из i - 1-го с помощью команды прибавь 1, либо из числа i - 2-го с помощью команды прибавь 2. Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ для i-1-го и i-2-го чисел:R(i) = R(i-1)+R(i-2). Если число на 3 делится, то вариантов последней команды три: прибавь 1, прибавь 2 и умножь на 3, следовательно, R(i) = R(i-1)+R(i-2)+R(i/3). Заполним соответствующую таблицу по приведенным формулам слева направо:

Ответ: 31.