Задание 23. Алгебра логики. Системы логических уравнений. ЕГЭ 2021 по информатике
Средний процент выполнения: 25.4%
Ответом к заданию 23 по информатике может быть цифра (число) или слово.
Задачи для практики
Задача 1
У исполнителя Увеличитель две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 2,
2. Увеличь цифру в старшем разряде числа на 1.
Первая из них увеличивает данное число на 2, вторая — увеличивает цифру в старшем разряде числа на 1, например, число 34 с помощью этой команды превратится в число 44. Программа для исполнителя Увеличитель — это последовательность команд.
Определите количество программ, которые число 20 преобразуют в число 44.
Решение
Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 20, 21, 22, . . . , 44 (то есть для каждого из чисел определим, сколько программ исполнителя существует для его получения). Количество программ, которые преобразуют число 20 в число n, будем обозначать через R(n). Будем считать, что R(20) = 1. Заметим, что команда 2 для чисел, меньших 90, соответствует условию «прибавь 10». С помощью каждой из команд 1 и 2, применяя их последовательно к числам, получаемым из числа 29, можно получить только чётные числа. Числа 20, 22, . . . , 28 можно получить из предыдущего числа только с помощью команды 1. Значит, количество искомых программ для каждого из таких чисел равно количеству программ для предыдущего числа: R(i) = R(i − 2), i—чётное, 22 ≤ i ≤ 28.
Получаем R(20) = R(22) = · · · = R(28) = 1. Для чисел, больших 28 и не превосходящих 44, вариантов последней команды два: прибавь 2 и прибавь 10, то есть R(i) = R(i − 2) + R(i − 10), i — чётное, 30 ≤ i ≤ 44. Заполним соответствующую таблицу по приведённым формулам слева направо:
| 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 | 42 | 44 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 11 | 15 |
Задача 2
У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 2,
2. умножь на 5.
Первая из них увеличивает данное число на 2, вторая — увеличивает его в 5 раз. Программа для исполнителя Удвоитель — это последовательность команд.
Определите количество программ, которые число 1 преобразуют в число 37.
Решение
Заметим, что все числа, получаемые с помощью заданных команд из числа 1, — нечётные. Будем решать поставленную задачу последовательно для чисел 1, 3, 5, . . . , 37 (то есть для каждого нечётного числа определим, сколько программ исполнителя существует для его получения). Количество программ, которые преобразуют число 1 в число n, будем обозначать через R(n). Будем считать, что R(1) = 1. Для каждого следующего числа рассмотрим, из какого числа оно может быть получено за одну команду исполнителя. Если число не делится на 5, то оно может быть получено только из предыдущего с помощью команды прибавь 2. Значит, количество искомых программ для такого числа равно количеству программ для предыдущего числа: R(i) = R(i − 2), i — нечётное. Если число на 5 делится, то вариантов последней команды два: прибавь 2 и умножь на 5, тогда R(i) = R(i−2)+R(i/5), i — нечётное. Заполним соответствующую таблицу по приведенным формулам слева направо:
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 27 |
| 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 5 | 5 |
| 29 | 31 | 33 | 35 | 37 | |||||||||
| 5 | 5 | 5 | 7 | 7 |
Задача 3
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, . . . x_{10}$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\((x_1 ≡ x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4)) ∨ ((¬x_1 ∧ ¬x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4)) = 0; \((x_3 ≡ x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6)) ∨ ((¬x_3 ∧ ¬x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6)) = 0; \((x_5 ≡ x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8)) ∨ ((¬x_5 ∧ ¬x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8)) = 0; \((x_7 ≡ x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_{10})) ∨ ((¬x_7 ∧ ¬x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_10)) = 0;$
Решение
При рассмотрении решения задачи с целью исключения путаницы в качестве знака тождественного преобразования и тождественного равенства используется символ «=», а в качестве знака эквиваленции — «≡».
1. Преобразуем первое уравнение системы: $((x_1 ≡ x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4)) ∨ ((¬x_1 ∧ ¬x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4)) = 0.$
Применяя к этому уравнению дистрибутивный закон $F ∧ (G ∨ Q) = (F ∧ G) ∨ (F ∧ Q)$, получим:
$((x_1 ≡ x_2) ∨ (¬x_1 ∧ ¬x_2)) ∧ (¬x_3 ≡ x_4) = 0.$
2. Покажем, что $x_1 ≡ x_2 = (¬x_1 ∧ ¬x_2) ∨ (x_1 ∧ x_2)$.
На основании законов алгебры логики преобразуем левую часть этого выражения:
| Преобразование левой части первого выражения | Закон логики, применяемый к предыдущему выражению |
| $x_1 ≡ x_2 =$ | |
| $(x_1 → x_2) ∧ (x_2 → x_1) =$ | Правило исключения эквиваленции |
| $(¬x_1 ∨ x_2) ∧ (¬x_2 ∨ x_1) =$ | Правило исключения импликации $F → G = ¬F ∨ G$ |
| $(¬x_1 ∧ ¬x_2) ∨ (x_2 ∧ ¬x_2) ∨ (¬x_1 ∧ x_1) ∨ (x_2 ∧ x_1) =$ | Дистрибутивный закон $F ∨ (G ∧ Q) = (F ∨ G) ∧ (F ∨ Q)$ |
| $(¬x_1 ∧ ¬x_2) ∨ 0 ∨ 0 ∨ (x_2 ∨ x_1) =$ | Закон противоречия $F ∧ ¬F = 0$ |
| $(¬x_1 ∧ ¬x_2) ∨ (x_2 ∨ x_1)$ | Тождество $F ∨ 0 = F$ |
3. Подставляя в выражение вместо $x_1 ≡ x_2$ правую часть выражения, получим $((¬x_1 ∧ ¬x_2) ∨ (x_1 ∧ x_2) ∨ (¬x_1 ∧ ¬x_2)) ∧ (¬x_3 ≡ x_4) = 0$.
Учитывая идемпотентность операции $∨ (F ∨ F = F)$, получим: $((¬x_1 ∧ ¬x_2) ∨ (x_1 ∧ x_2)) ∧ (¬x_3 ≡ x_4) = 0$.
Повторно применяя к этому выражению преобразование, находим, что первое уравнение исходной системы принимает вид: $(x_1 ≡ x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4) = 0$.
3. Так как остальные уравнения отличаются от первого только индексами, то исходная система уравнений принимает вид:
$\{\table\(x_1 ≡ x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4) = 0; /(x_3 ≡ x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6) = 0; \(x_5 ≡ x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8) = 0; \(x_7 ≡ x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_10) = 0;$
Далее для полученного уравнения представлены два способа решения.
Логическая переменная x1 может принимать одно из двух возможных значений: 0 или 1.
1) Рассмотрим для каждого из этих значений, какие значения могут принимать логические переменные x2, x3, x4, чтобы первое уравнение системы было ложным.
1.1) Если значения переменных x1 и x2 совпадают, то высказывание x1 ≡ x2 истинно. Значит, высказывание (x1 ≡ x2) ∧ (¬x3 ≡ x4) ложно только в случае, когда x3 = x4. Количество пар значений (x1; x2), у которых значения совпадают, равно 2: (0; 0), (1; 1).Следовательно, количество соответствующих им пар, содержащих переменные x3 и x4, равно 4 = 2·2: (0; 0; 0; 0), (0; 0; 1; 1), (1; 1; 0; 0), (1; 1; 1; 1).
1.2) Если же значения переменных x1 и x2 различны, то высказывание x1 ≡ x2 ложно, и значит (x1 ≡ x2) ∧ (¬x3 ≡ x4) ложно при любых значениях логических переменных x3 и x4. Количество пар значений (x1; x2), у которых значения различны, равно 2: (0; 1), (1; 0). Количество соответствующих им пар, содержащих переменные x3 и x4, увеличивается в 4 раза: 2 · 4 = 8.
Изобразим полученные значения в виде схемы:
Заметим, что количество пар значений (x3; x4), у которых значения совпадают, равно 2·4 = 8 — удвоенному количеству пар значений (x1; x2). А количество пар значений (x3; x4), у которых значения различны, равно 2 · 2 = 4 — удвоенному количеству пар различных значений (x1; x2).
Таким образом, для каждого набора значений логических переменных x1 и x2 количество наборов, содержащих переменные x3 и x4, равно 2 · 4 + 2 · 2 = 8 + 4 = 12.
2) Второе уравнение системы содержит две переменные x5 и x6, не входящие в первое уравнение. Это уравнение отличается от первого только тем, что индексы входящих в него переменных на два больше.
Поэтому все рассуждения, приведённые для первого уравнения, имеют место и для второго уравнения. А именно для каждого набора значений логических переменных x3 и x4 количество наборов, содержащих переменные x5 и x6, равно 2 · 12 + 2 · 4 = 24 + 8 = 32 (сумма удвоенного количества пар значений (x3; x4), у которых значения совпадают, и удвоенного количество пар значений (x3; x4), у которых значения различны,).
3) Третье и последующие уравнения системы отличаются от предыдущего только тем, что индексы входящих в них переменных на два больше, и каждое следующее уравнение системы содержит две переменные, не входящие в предыдущее уравнение.
Следовательно, количество различных наборов логических переменных, входящих в эти уравнения, изменяется по тем же правилам.
| Количество пар, у которых значения: | (x1; x2) | (x3; x4) | (x5; x6) | (x7; x8) | (x9; x10) |
| – совпадают | 2 | 2 · 4 = 8 | 2 · 12 = 24 | 2 · 32 = 64 | 2 · 80 = 160 |
| – различны | 2 | 2 · 2 = 4 | 2 · 4 = 8 | 2 · 8 = 16 | 2 · 16 = 32 |
| Всего наборов | 4 | 12 | 32 | 80 | 192 |
Следовательно, количество различных наборов логических переменных, удовлетворяющих всем перечисленным в условии уравнениям, равно 192.
Задача 4
Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, . . . , x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\¬(x_1 ≡ x_2) ∧ ((x_1 ∧ ¬x_3) ∨ (¬x_1 ∧ x_3)) = 0; \¬(x_2 ≡ x_3) ∧ ((x_2 ∧ ¬x_4) ∨ (¬x_2 ∧ x_4)) = 0; \. . .; \¬(x_8 ≡ x_9) ∧ ((x_8 ∧ ¬x_{10}) ∨ (¬x_8 ∧ x_{10})) = 0;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, . . . , x10, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
1) На основании законов алгебры логики преобразуем левую часть первого выражения (с целью исключения путаницы в качестве знака тождественного преобразования используется символ «=»).
| Преобразование левой части первого выражения | Закон логики, применяемый к предыдущему выражению |
| ¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = | |
| ¬(x1 ≡ x2)∧¬¬((x1∧¬x3)∨(¬x1∧x3)) = | Закон двойного отрицания ¬¬F ≡ F |
| ¬(x1 ≡ x2)∧¬(¬(x1∧¬x3)∧¬(¬x1∧x3) = | Закон де Моргана ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G |
| ¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(¬x1 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ ¬x3) = | Закон де Моргана ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G |
| ¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(¬x1 ∨ x3) ∧ (¬x3 ∨ x1) = | Коммутативность операции ∧ F ∧ G ≡ G ∧ F |
| ¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 → x3) ∧ (x3 → x1) = | Правило исключения импликации F → G ≡ ¬F ∨ G |
| ¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = | Правило исключения эквиваленции F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F) |
| ¬((x1 ≡ x2) ∨ (x1 ≡ x3)) | Закон де Моргана ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G |
Таким образом, первое уравнение принимает вид: ¬((x1 ≡ x2) ∨ (x1 ≡ x3)) = 0.
Применяя отрицание к обеим частям, получаем: ¬¬((x1 ≡ x2) ∨ (x1 ≡ x3)) = ¬0.
Отсюда, (x1 ≡ x2) ∨ (x1 ≡ x3) = 1.
Так как остальные уравнения отличаются от первого только индексами, то исходная система уравнений принимает вид:
(x1 ≡ x2) ∨ (x1 ≡ x3) = 1,
(x2 ≡ x3) ∨ (x2 ≡ x4) = 1,
. . .
(x8 ≡ x9) ∨ (x9 ≡ x10) = 1.
2) Первое уравнение системы представляет собой дизъюнкцию двух высказываний. Дизъюнкция истинна (равна единице) только в том случае, когда хотя бы одно из высказываний, связанных дизъюнкцией, истинно.
Значит, должно выполняться (x1 ≡ x2) = 1 или (x1 ≡ x3) = 1.
Если x1 = x2, то высказывание x1 ≡ x2 истинно. Следовательно, при любых значениях x3 истинно высказывание (x1 ≡ x2) ∨ (x1 ≡ x3).
Если x1 ≠ x2, то высказывание x1 ≡ x2 ложно. Следовательно, высказывание (x1 ≡ x2)∨(x1 ≡ x3) истинно, только в случае, когда x1 = x3. Изобразим полученные значения в виде схемы.
Таким образом, количество наборов логических переменных, удовлетворяющих первому уравнению рассматриваемой системы, равно 6 = 2 · 3 (где 3 — количество переменных, содержащихся в уравнении).
Так как следующие уравнения отличаются от первого только индексами (в каждом последующем уравнении индекс на 1 больше, чем в предыдущем), то мы видим, что для каждого последующего уравнения количество наборов переменных, удовлетворяющих рассматриваемому уравнению и предыдущим, увеличивается на 2.
Так, для второго уравнения количество наборов равно 8 (равно удвоенному индексу новой переменной).
Для третьего — 10 и т. д. Для восьмого — 20.
Задача 5
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, . . . x_{10}$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\((x_1 ≡ x_2 ) ∧ (¬x_3 ≡ x_4 )) ∨ ((¬x_1 ∧ ¬x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4)) = 0; \((x_3 ≡ x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6)) ∨ ((¬x_3 ∧ ¬x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6)) = 0; \((x_5 ≡ x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8)) ∨ ((¬x_5 ∧ ¬x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8)) = 0; \((x_7 ≡ x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_{10})) ∨ ((¬x_7 ∧ ¬x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_{10})) = 0.;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2, . . . x_{10}$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
При рассмотрении решения задачи с целью исключения путаницы в качестве знака тождественного преобразования и тождественного равенства используется символ «=», а в качестве знака эквиваленции — «≡». 1. Преобразуем первое уравнение системы:
((x1 ≡ x2) ∧ (¬x3 ≡ x4)) ∨ ((¬x1 ∧ ¬x2) ∧ (¬x3 ≡ x4)) = 0.
Применяя к этому уравнению дистрибутивный закон F ∧ (G ∨ Q) = (F ∧ G) ∨ (F ∧ Q), получим:
((x1 ≡ x2) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2)) ∧ (¬x3 ≡ x4) = 0. (1)
2. Покажем, что
x1 ≡ x2 = (¬x1 ∧ ¬x2) ∨ (x1 ∧ x2). (2)
На основании законов алгебры логики преобразуем левую часть этого выражения:
| Преобразование левой части первого выражения | Закон логики, применяемый к предыдущему выражению |
| x1 ≡ x2 = | |
| (x1 → x2) ∧ (x2 → x1) = | Правило исключения эквиваленции |
| (¬x1 ∨ x2) ∧ (¬x2 ∨ x1) = | Правило исключения импликации F → G = ¬F ∨ G |
| (¬x1 ∧ ¬x2) ∨ (x2 ∧ ¬x2)∨ (¬x1 ∧ x1) ∨ (x2 ∧ x1) = | Дистрибутивный закон F ∨ (G ∧ Q) = (F ∨ G) ∧ (F ∨ Q) |
| (¬x1 ∧ ¬x2) ∨ 0 ∨ 0 ∨ (x2 ∨ x1) = | Закон противоречия F ∧ ¬F = 0 |
| (¬x1 ∧ ¬x2) ∨ (x2 ∨ x1) | Тождество F ∨ 0 = F |
3. Подставляя в выражение (1) вместо x1 ≡ x2 правую часть выражения (2), получим
((¬x1 ∧ ¬x2) ∨ (x1 ∧ x2) ∨ (¬x1 ∧ ¬x2)) ∧ (¬x3 ≡ x4) = 0.
Учитывая идемпотентность операции ∨ (F ∨ F = F), получим:
((¬x1 ∧ ¬x2) ∨ (x1 ∧ x2)) ∧ (¬x3 ≡ x4) = 0.
Повторно применяя к этому выражению преобразование (2), находим, что первое уравнение исходной системы принимает вид:
(x1 ≡ x2) ∧ (¬x3 ≡ x4) = 0.
4. Так как остальные уравнения отличаются от первого только индексами, то исходная система уравнений принимает вид:
$\{\table\(x_1 ≡ x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4) = 0; \(x_3 ≡ x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6) = 0; \(x_5 ≡ x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8) = 0; \(x_7 ≡ x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_{10}) = 0;$
Далее для полученного уравнения представлены два способа решения.
Способ 1. Логическая переменная x1 может принимать одно из двух возможных значений: 0 или 1.
1) Рассмотрим для каждого из этих значений, какие значения могут принимать логические переменные x2, x3, x4, чтобы первое уравнение системы было ложным.
1.1) Если значения переменных x1 и x2 совпадают, то высказывание x1 ≡ x2 истинно. Значит, высказывание (x1 ≡ x2) ∧ (¬x3 ≡ x4) ложно только в случае, когда x3 = x4. Количество пар значений (x1; x2), у которых значения совпадают, равно 2: (0; 0), (1; 1). Следовательно, количество соответствующих им пар, содержащих переменные x3 и x4, равно 4 = 2 · 2: (0; 0; 0; 0), (0; 0; 1; 1), (1; 1; 0; 0), (1; 1; 1; 1).
1.2) Если же значения переменных x1 и x2 различны, то высказывание x1 ≡ x2 ложно, и значит (x1 ≡ x2) ∧ (¬x3 ≡ x4) ложно при любых значениях логических переменных x3 и x4. Количество пар значений (x1; x2), у которых значения различны, равно 2: (0; 1), (1; 0). Количество соответствующих им пар, содержащих переменные x3 и x4, увеличивается в 4 раза: 2 · 4 = 8.
Изобразим полученные значения в виде схемы 1:
Схема 1.
Заметим, что количество пар значений (x3; x4), у которых значения совпадают, равно 2 · 4 = 8 — удвоенному количеству пар значений (x1; x2). А количество пар значений (x3; x4), у которых значения различны, равно 2 · 2 = 4 — удвоенному количеству пар различных значений (x1; x2).
Таким образом, для каждого набора значений логических переменных x1 и x2 количество наборов, содержащих переменные x3 и x4, равно 2 · 4 + 2 · 2 = 8 + 4 = 12.
2) Второе уравнение системы содержит две переменные x5 и x6, не входящие в первое уравнение. Это уравнение отличается от первого только тем, что индексы входящих в него переменных на два больше.
Поэтому все рассуждения, приведённые для первого уравнения, имеют место и для второго уравнения. А именно для каждого набора значений логических переменных x3 и x4 количество наборов, содержащих переменные x5 и x6, равно 2 · 12 + 2 · 4 = 24 + 8 = 32 (сумма удвоенного количества пар значений (x3; x4), у которых значения совпадают, и удвоенного количество пар значений (x3; x4), у которых значения различны.
3) Третье и последующие уравнения системы отличаются от предыдущего только тем, что индексы входящих в них переменных на два больше, и каждое следующее уравнение системы содержит две переменные, не входящие в предыдущее уравнение.
Следовательно, количество различных наборов логических переменных, входящих в эти уравнения, изменяется по тем же правилам.
| Количество пар, у которых значения: | (x1; x2) | (x3; x4) | (x5; x6) | (x7; x8) | (x9; x10) |
| – совпадают | 2 | 2 · 4 = 8 | 2 · 12 = 24 | 2 · 32 = 64 | 2 · 80 = 160 |
| – различны | 2 | 2 · 2 = 4 | 2 · 4 = 8 | 2 · 8 = 16 | 2 · 16 = 32 |
| Всего наборов | 4 | 12 | 32 | 80 | 192 |
Следовательно, количество различных наборов логических переменных, удовлетворяющих всем перечисленным в условии уравнениям, равно 192.
Задача 6
У исполнителя X157 три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Прибавь 5
3. Умножь на 7
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая — на 5, а третья — в 7 раз. Программа для исполнителя X157 — это последовательность команд.
Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 20?
Решение
Задача 7
У исполнителя X135 три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Прибавь 3
3. Умножь на 5
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая — на 3, а третья — в 5 раз. Программа для исполнителя X135 — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 14?
Решение
Задача 8
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2$, . . . $x_6, x_7$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\ ((x_1 ≡ x_2) ∧ (x_1 ≡ x_3)) ∨ ((x_2 ≡ x_3) ∧ (x_2 ≡ x_4)) = 0; \ ((x_2 ≡ x_3) ∧ (x_2 ≡ x_4)) ∨ ((x_3 ≡ x_4) ∧ (x_3 ≡ x_5)) = 0; \ ((x_3 ≡ x_4) ∧ (x_3 ≡ x_5)) ∨ ((x_4 ≡ x_5) ∧ (x_4 ≡ x_6)) = 0; \ ((x_4 ≡ x_5) ∧ (x_4 ≡ x_6)) ∨ ((x_5 ≡ x_6) ∧ (x_5 ≡ x_7)) = 0;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2$, . . . $x_6, x_7$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
Задача 9
У исполнителя Увеличитель две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 2
2. Умножь на 3
Первая из них увеличивает число на экране на 2, вторая — увеличивает его в 3 раза. Программа для исполнителя Увеличитель—это последовательность команд.
Определите количество программ, которые число 1 преобразуют в число 37.
Решение
Задача 10
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2$, . . . $x_{10}$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\ ((x_1 ≡ x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4)) ∨ ((¬x_1 ∧ ¬x_2) ∧ (¬x_3 ≡ x_4)) = 0; \ ((x_3 ≡ x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6)) ∨ ((¬x_3 ∧ ¬x_4) ∧ (¬x_5 ≡ x_6)) = 0; \ ((x_5 ≡ x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8)) ∨ ((¬x_5 ∧ ¬x_6) ∧ (¬x_7 ≡ x_8)) = 0; \ ((x_7 ≡ x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_{10})) ∨ ((¬x_7 ∧ ¬x_8) ∧ (¬x_9 ≡ x_{10})) = 0;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2$, . . . $x_{10}$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
Задача 11
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2$, . . . $x_7, x_8$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\ ¬(x_1 ≡ x_2) ∧ (x_2 ∨ x_3) ∧ (¬x_2 ∨ ¬x_3) = 0; \ ¬(x_2 ≡ x_3) ∧ (x_3 ∨ x_4) ∧ (¬x_3 ∨ ¬x_4) = 0; \ . . .; \ ¬(x_6 ≡ x_7) ∧ (x_7 ∨ x_8) ∧ (¬x_7 ∨ ¬x_8) = 0;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2$, . . . $x_7, x_8$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
Задача 12
У исполнителя X17 две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Прибавь 7
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая — на 7. Программа для исполнителя X17—это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые число 5 преобразуют в число 26, и при этом траектория вычислений содержит число 12?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы.Например, для программы 1221 при исходном числе 3 траектория будет состоять из чисел 4, 11, 18, 19.
Решение
Задача 13
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2$, . . . , $x_{10}$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\ ¬(x_1 ≡ x_2) ∧ ((x_1 ∧ ¬x_3) ∨ (¬x_1 ∧ x_3)) = 0; \ ¬(x_2 ≡ x_3) ∧ ((x_2 ∧ ¬x_4) ∨ (¬x_2 ∧ x_4)) = 0; \ . . .; \ ¬(x_8 ≡ x_9) ∧ ((x_8 ∧ ¬x_{10}) ∨ (¬x_8 ∧ x_{10})) = 0;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2$, . . . , $x_{10}$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
Задача 14
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2$, . . . , $x_5, y_1, y_2$, . . . , $y_5$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\ (y_1 ∧ (x_1 → y_2)) ∨ (x_1 ≡ x_2) = 1; \ (y_2 ∧ (x_2 → y_3)) ∨ (x_2 ≡ x_3) = 1; \ (y_3 ∧ (x_3 → y_4)) ∨ (x_3 ≡ x_4) = 1; \ (y_4 ∧ (x_4 → y_5)) ∨ (x_4 ≡ x_5) = 1;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2$, . . . , $x_5, y_1, y_2$, . . . , $y_5$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
Задача 15
У исполнителя X125 три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Умножь на 2
3. Умножь на 5
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая — в 2 раза, а третья — в 5 раз. Программа для исполнителя X125 — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 38, и при этом траектория вычислений содержит числа 10 и 20? Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 2231 при исходном числе 5 траектория будет состоять из чисел 10, 20, 100, 101.
Решение
Задача 16
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2$, . . . , $x_5, y_1, y_2$, . . . , $y_5$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\ (y_2 → (y_1 ∧ x_2)) ∧ (y_2 → x_1) = 1; \(y_3 → (y_2 ∧ x_3)) ∧ (y_3 → x_2) = 1; \(y_4 → (y_3 ∧ x_4)) ∧ (y_4 → x_3) = 1; \(y_5 → (y_4 ∧ x_5)) ∧ (y_5 → x_4) = 1;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2$, . . . , $x_5, y_1, y_2$, . . . , $y_5$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
Задача 17
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2$, . . . , $x_8, y_1, y_2$, . . . , $y_8$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\{\table\ (¬x_1 ∨ ¬x_2) ∧ ((x_1 ∧ x_2) → x_3) ∧ (¬x_3 ≡ y_1) = 1;\ (¬x_2 ∨ ¬x_3) ∧ ((x_2 ∧ x_3) → x_4) ∧ (¬x_4 ≡ y_2) = 1;\ . . .;\ (¬x_6 ∨ ¬x_7) ∧ ((x_6 ∧ x_7) → x_8) ∧ (¬x_8 ≡ y_6) = 1;\ (¬x_7 ∨ ¬x8) ∧ (¬y_7 ∨ y_8) = 1;$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений $x_1, x_2$, . . . , $x_8, y_1, y_2$, . . . , $y_8$, при которых выполнима данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение
Задача 18
У исполнителя X132 три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Прибавь 3
3. Умножь на 2
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая — на 3, а третья — в 2 раза. Программа для исполнителя X132— это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 15, и при этом траектория вычислений содержит числа 6 и 10?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы.Например, для программы 1323 при исходном числе 4 траектория будет состоять из чисел 5, 10, 13, 26.
Решение
Задача 19
У исполнителя A12M2 две команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Прибавь 2
3. Умножь на 2
Программа для исполнителя A12M2 — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 4 преобразуют в число 14, и при этом траектория вычислений содержит число 11?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы.Например, для программы 1211 при исходном числе 2 траектория будет состоять из чисел 3, 5, 6, 7.
Решение
Задача 20
У исполнителя А128 три команды, которым присвоены номера:
1. Прибавь 1
2. Прибавь 2
3. Прибавь 5
Первая из них увеличивает число на экране на 1, вторая — на 2, а третья — на 5. Программа для исполнителя A125 — это последовательность команд.
Сколько существует программ, которые число 10 преобразуют в число 19, и при этом траектория вычислений содержит число 15?
Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы.Например, для программы 231 при исходном числе 5 траектория будет состоять из чисел 7, 12, 13.