Ответ: to be. Turn out относится к глаголам со значением “оказаться”. В конструкции Complex Subject после turn out употребляется инфинитив с to. Так оформляется результат/выяснение факта: “оказалось, что она права”, поэтому нужна связка to be.

Ответ: steal. После глаголов чувственного восприятия (see/hear/feel/watch/notice) можно использовать инфинитив без to, если говорящий наблюдал действие целиком (как факт, “от начала до конца”). Здесь “bus stopped” задаёт законченный эпизод, поэтому подходит форма без -ing.

РЕШЕНИЕ: hopes to become. Hope задаёт устремление к будущему результату. Инфинитив кодирует целевой вектор: состояние ещё не достигнуто, но желаемо. Потому «надеется стать», а не «надеется становлением».

Ответ: waiting. Notice относится к глаголам восприятия/наблюдения, и форма -ing используется, когда действие показано как процесс, происходящий в тот момент. “Before the exam” + “nervously” рисует фон, поэтому логичнее передать длительность ожидания.

РЕШЕНИЕ: ran smiling. -ing описывает манеру/сопутствие главного действия: «бежала, улыбаясь». Инфинитив «to smile» дал бы оттенок цели («побежала, чтобы улыбнуться»), который не совпадает с ситуацией встречи.

РЕШЕНИЕ: caught cheating. После глаголов наблюдения/застукания (catch, find, spot) берут -ing, потому что фиксируется процесс «в моменте», а не намерение. Их «поймали на действии», а не на плане.

РЕШЕНИЕ: Carrying a heavy suitcase, … Это причастный оборот фона/сопутствия: действие «нести» параллельно главному «дошёл». Он заменяет придаточное «as he was carrying» и подчёркивает состояние.

РЕШЕНИЕ: excited to go. Эмоция ожидания будущего шага кодируется инфинитивом: есть цель/перспектива. «В восторге пойти» здесь естественнее, чем «excited going», которое звучит как описание привычного занятия.

РЕШЕНИЕ: tired of doing. После предлогов (of, without, before, after) английский ожидает -ing. Здесь устойчивый шаблон tired of + -ing: «устал от выполнения». Это не цель, а перечисление надоевшей деятельности.

РЕШЕНИЕ: happy to see. Прилагательные оценки/эмоций охотно соединяются с инфинитивом: речь о причине чувства и направленности на событие. «Рада видеть прогресс» — взгляд вперёд от состояния говорящего к факту.

РЕШЕНИЕ: Walking along the beach, … — причастный оборот. Он показывает действие, происходящее параллельно основному. Это сокращённая форма от «as we were walking».

РЕШЕНИЕ: admitted taking. После admit ставится герундий, потому что говорящий признаёт факт свершившегося действия. Она уже взяла ручку по ошибке — это не план, а факт.

РЕШЕНИЕ: enjoy painting. После enjoy идёт герундий, потому что он обозначает действие как общее занятие, процесс, а не конкретную цель. Мы говорим о хобби, а не о намерении что-то сделать.

РЕШЕНИЕ: avoided talking. After avoid — герундий: формируется модель поведения «уклоняться от X» как категории, а не разовой цели. Он систематически не говорил, значит номинализация процесса через -ing.

Решение: Здесь нужно отрицание длительного времени, чтобы показать, что процесс записи не происходил в тот момент.