Задание 25. Геометрическая задача на вычисление повышенной сложности. ОГЭ 2026 по математике
Подпишись на суперполезные материалы
Задачи для практики
Задача 1
Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $37:3$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна $15$.
Решение
Пусть $AL$, $BM$ и $CT$ — биссектрисы треугольника $ABC$, $K$ — их точка пересечения. Предположим, что $AK:KL=37:3$, $CB=15$ (см. рис.). 
Рассмотрим $▵ ACL$, $CK$ — его биссектриса. По свойству биссектрисы ${AC} / {CL}={AK} / {KL}={37} / {3}$. Тогда $CL={3} / {37}AC$. Аналогично рассмотрим $▵ ABL$, $BK$ — его биссектриса. По свойству биссектрисы ${AB} / {BL}={AK} / {KL}={37} / {3}$. Тогда $BL={3} / {37}AB$. $BC=CL+BL={3} / {37}(AC+AB)=15$. $AC+AB={15⋅37} / {3}=185$. Периметр треугольника $ABC$ равен $185+15=200$.
Задача 2
В выпуклом четырёхугольнике $NPLM$ диагональ $NL$ является биссектрисой угла $PNM$ и пересекается с диагональю $PM$ в точке $T$. Найдите $NT$, если известно, что около четырёхугольника $NPLM$ можно описать окружность, $PL=18$, $TL=10$.
Решение
Так как четырёхугольник $NPLM$ можно вписать в окружность (см. рис.), то $∠ LPM=∠ LNM$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. 
По условию $∠ PNL=∠ LNM$, так как $NL$ — биссектриса $∠ PNM$. Отсюда $∠ LPM=∠ LNP$. Заметим, что $▵ LPT∼▵ LNP$ по двум углам ($∠ L$ — общий, $∠ LPT=∠ LNP$), тогда ${LN} / {LP}={LP} / {LT}$; ${10+TN} / {18}={18} / {10}$; $10(10+TN)=18^2$; $10 TN=224$; $TN=22{,}4$.
Задача 3
Из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC$ проведена высота $CP$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен $48$, тангенс угла $BAC$ равен ${12} / {5}$. Найдите радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.
Решение
Задача 4
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны $7$ и $24$, а средняя линия равна $12{,}5$.
Решение
Задача 5
На стороне $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону $AB$ в точке $K$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BCK$, если $AC=13$, $AK=5$.
Решение
Задача 6
К окружности проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания). Прямая $AC$ пересекает окружность в точках $C$ и $D$. Найдите $AD$, если $AC=1$, $AB=√ {3}$.{
Решение
Задача 7
Около круга описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна $10$. Определите периметр трапеции.
Решение
Задача 8
Центры двух окружностей находятся на расстоянии $√ {80}$. Радиусы окружностей равны $4$ и $8$. Найдите длину общей касательной.
Решение
Задача 9
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AD$. Найдите $BL$, если $AL$ — высота треугольника и $AB=1$ см, $AC=√ {15}$ см, $AD=2$ см.
Решение
Задача 10
Из точки, данной на окружности, проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Отрезок, соединяющий их середины, равен $6$. Найдите радиус окружности.
Решение
Рекомендуемые курсы подготовки
- Разберешься в разных типах функций
- Сможешь быстро решать задания №11 ОГЭ и заберешь свой балл за него на экзамене
- Получишь крутую базу для задания №22 из письменной части ОГЭ
- Поймешь, что графики функций не так страшны, как казалось раньше
на бесплатном курсе Турбо ЕГЭ
