Задание 30. Молекулярная физика (расчетная задача). ЕГЭ 2021 по физике
Средний процент выполнения: 16.1%
Ответом к заданию 30 по физике может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задачи для практики
Задача 1
Найдите плотность водорода при температуре 15◦С и давлении 730 мм рт. ст.
Решение
Дано:
$t=15°C$
$p=730$мм.рт.ст.
$R=8.31$Дж/моль·К
$μ(H_2)=2·10^{-3}$кг/моль
$ρ-?$
Решение:
Плотность по определению равна: $ρ={m}/{V}$(1), где $m$ - масса, $V$ - объем газа.
Из уравнения Менделеева-Клайперона имеем: $pV={m}/{μ}RT$ или $p={mRT}/{V·μ}$ или $p={ρRT}/{μ}$, откуда $p={ρ·μ}/{RT}$(2), где $T=t+273=(15+273)=288K$ - абсолютная температура. Зная, что 1мм.рт.ст. = 133 Па переведем давление в Паскали: $p=730·133=97090$Па, $μ=2·10^{-3}$кг/моль - молярная масса водорода, $R$ - универсальная газовая постоянная. Подставим числовые значения значения в (2) и получим: $p={97090·2·10^{-3}}/{8.31·288}=0.081кг/м^3$.
Задача 2
Автомобиль потребляет 10 л бензина на 100 км пути при скорости 108 км/ч. Определите КПД двигателя, если его мощность равна 50 кВт. Удельная теплота сгорания бензина 4,6 · 107 Дж/кг, плотность бензина ρ = 700 кг/м3.
Решение
Дано:
$V=10·10^{-3}м^3$
$ρ=700{кг}/{м^3}$
$q=4.6·10^7$Дж/кг
$S=10^5$м
$υ=108=30$м/с
$p=5·10^4Вт$
$η-?$
Решение:
КПД нагревателя определяется выражением: $η={A_{полез}}/{A_{затр}}·100%$(1), $A_{полез}=ρ·t$(2), где $t={S}/{υ}$(3) - время движения авто. $A_{затр}=Q=qm=q·ρ·V$(4), где $m=ρ·V$(5) - масса бензина. Подставим (2) и (4) с учетом (3) и (5) в (1) получим: $η={p·S}/{υ·q·ρ·V}·100%={5·10^4·10^5·100%}/{30·4.6·10^7·700·10^{-2}}={5·10^9·100%}/{9.66·10^9}=51.76%=51.8%$.
Задача 3
Кусок свинца массой 2 кг нагрели, сообщив ему 110 кДж теплоты. Свинец расплавился на 50% своей массы. Какова была начальная температура свинца? Температура плавления свинца 600 К, удельная теплоёмкость свинца 130 Дж/(кг·К)
Решение
Дано:
$m=2$кг
$Q=110·10^3$Дж
$λ=0.25·10^5$Дж/кг
$m_2=0.5m$
$T_2=600K$
$c=130$Дж/кг·К
$T_1-?$
Решение:
Общее количество теплоты, которое сообщили свинцу массой $m$ равно: $Q=Q_1+Q_2$(1), где $Q_1=cm(T_2-T_1)$(2) - количество теплоты, которое сообщили свинцу до температуры плавления $T_2$. $Q_2=m_2·λ=0.5m·λ$(3), где $λ$ - удельная теплота плавления свинца, $c$ - удельная теплоемкость свинца. Подставим (2) и (3) в (1): $Q=cmT_2-cmT_1+0.5mλ$, откуда найдем температуру $T_1$: $cmT_1=cmT_2+0.5mλ-Q; T_1={cmT_2+0.5mλ-Q}/{cm}$(4).
Подставим числовые значения в (4): $T_1={130·2·600+0.5·2·0.25·10^5-110·10^3}/{130·2}={156000+25000-110000}/{260}={71000}/{260}=273K$.
Задача 4
Газ в сосуде находится под давлением 300 кПа при температуре 227◦C. Определите давление газа после того, как половина массы газа выпущена из сосуда, а температура понижена на 80◦C.
Решение
Дано:
$p_1=300·10^3$Па
$t_1=227°C$
$m_1=m$
$m_2={m}/{2}$
$∆T=80°C$
$V_1=V_2=V=const$
$R=8.31$Дж/моль·К
$p_2-?$
Решение:
Найдем абсолютную температуру $T_1$: $T_1=273+t_1=273+227=500K$, тогда $T_2=T_1-∆T=500-80=420K$,
Из уравнения Менделеева-Клайперона имеем:
$p_1·V={m}/{μ}RT_1$(1),
$p_2·V={{m}/{2}RT_2}/{μ}$(2), где $R$ - универсальная газовая постояннаяm, $μ$ - молярная масса газа. Разделим выражение (2) на (1): ${p_2·V}/{p_1·V}={{m}/{2}RT_2}/{μ}·{μ}/{mRT_1}⇒p_2={0.5T_2·p_1}/{T_1}$(3). Подставим числовые значения в (3): $p_2={0.5·420·300·10^3}/{500}=126·10^3=126$кПа.
Задача 5
Свинцовая пуля массой 10 г, летящая со скоростью 400 м/с, пробивает деревяный шар массой 1 кг, висящий на прочной нити, и вылетает из него со скоростью 300 м/с. Определите увеличение температуры пули после пробивания шара, если на её нагревание идёт 60% потери кинетической энергии системы «пуля–шар». Удельная теплоёмкость свинца $c=140$Дж/кг·С. Ответ выразите в кельвинах и округлите до десятых.
Решение
Дано:
$m_1=10^{-2}$кг
$υ_1=400$м/с
$m_2=1$кг
$υ_2=300$м/с
$c=140$Дж/кг·С
$Q=0.6∆E_к$
$∆T-?$
Решение:
Рассчитаем потери кинетической энергии системы "пуля-шар": $∆E_к={mυ_1^2}/{2}-{mυ_2^2}/{2}={m}/{2}·(υ_1^2-υ_2^2)={10^{-2}}/{2}(16·10^4-9·10^4)={7·10^2}/{2}=350$Дж.
Количество теплоты, которое получает пуля равно: $Q=cm·∆t$(2), где $c$ - удельная теплоемкость свинца, $c=140$Дж/кг·С.
По условию задачи: $Q=0.6·∆E_к$, откуда $∆t={0.6∆E_к}/{cm}$(3). Подставим числовые значения в (3): $∆t={0.6·350}/{10^{-2}·140}=150°C$. Поскольку $1°C=1K$, то $∆t=∆T=150K$
Задача 6
Два моля одноатомного газа, находящегося в цилиндре при температуре T1 = 200 К и давлении 2·105 Па, расширяется и одновременно охлажда ется так, что его давление (p) в этом процессе обратно пропорционально объёму в кубе (V3). Какое количество теплоты газ отдал при расширении, если при этом он совершил работу A = 939,5 Дж, а его давление стало равным 0,25 · 105 Па?
Решение
Дано:
$υ=2$моля
$T_1=200K$
$P_1=2·10^5$Па
$A=939.5$Дж
$P_2=0.25·10^5$Па
$Q-?$
Решение:
1) Менделеев-Клайперон: $pV=υRT$
$\{\table\U_1={3}/{2}υRT_1; \U_2={3}/{2}υRT_2;$ $V={2}/{√^3{p}}$, т.к. $p={α^3}/{V^3}$
Тогда $T_2=T_1√{{P_2}/{P_1}}=200√^3{{0.25}/{2·10^5}}=100K$.
$A=-Q-∆U⇒939.5+{3}/{2}·2·8.31(100-200)=2.8$кДж.
Задача 7
Два моля одноатомного газа, находящегося в цилиндре при температуре 400 К и давлении 4 · 105 Па, расширяются и одновременно охлаждаются так, что его давление в этом процессе обратно пропорционально объёму в кубе (V3). Какую работу совершил газ при расширении, если он отдал количество теплоты 1979 Дж, а его давление стало равным 0,5 · 105 Па?
Решение
1) Первое начало термодинамики $-Q=∆U+A$, $∆U={3}/{2}υRT$, по условию $p={α}/{V^3}⇒V={α}/{√^3{p}}$.
2) По закону Менделеева-Клайперона $pV=υRT$.
3) Определим конечную температуру: $T_2=T_1√^3{{p_2}/{p_1}}=400√{{0.5·10^5}/{4·10^5}}=200K$.
4) Таким образом $A=-Q-∆U=-1979-{3}/{2}·2·8.31(200-400)=5.5$кДж.
Задача 8
1 м3 влажного воздуха при относительной влажности B = 60%, температуре T = 239 K и нормальном атмосферном давлении имеет массу M = 1,2004 кг. Определите давление насыщающего водяного пара при температуре T .
Решение
Дано:
$B=60%$
$T=239K$
$V=1м^3$
$P_н=10^5$Па
$M=1/2004$кг
$P_{нп}-?$
Решение:
Уравнение Менделеева-Клайперона:
$\{\table\P_1·V=υ_1·RT; \P_2V=υ_2·RT;$ $⇒P_1+P_2=(υ_1+υ_2)·8.31·293$.
$P_1+P_2=P_н; υ_1+υ_2={101300}/{2434.83}=41.6$моль.
Тогда $\{\table\υ_1·0.018+υ_1·0.029=1.2004; \υ_2=41.6-υ_1;$ $⇒υ_1=0.545$моль.
$P_1={υ_1·RT}/{V}={0.545·8.31·293}/{1}=1370$Па.
Задача 9
В комнате размером V = 10 × 5 × 3 м3 поддерживается температура T1 = 293 K, а точка росы равна T2 = 283 K. Определите относительную влажность воздуха и количество водяных паров, содержащихся в комнате.
Решение
Дано:
$V=10·5·3м^3$
$T_1=293K$
$T_{расп}=283K$
$ρ_{н.п.}=9.4г/м^3$
$ϕ_{отн}$ и $m_в$-?
Решение:
При $T=T_{расп}$ пар в комнате насыщенный $m=ρ·V=9.4·950=1.41$кг.
Задача 10
Идеальный одноатомный газ расширяется сначала адиабатически, а затем изобарно так, что начальная и конечная температуры одинаковы. Работа, совершённая газом за весь процесс, равна 10 кДж. Какую работу совершил газ при адиабатическом расширении?
Решение
Решение:
Построим график, из которого получим: $\{\table\1-2адиобатный; \2-3изобарный;$ $\{\table\∆U_{12}=-A_{газа12}, Q=0; \∆U_{23}+A_{23}=Q_{23};$
$A_{12}=-∆U_{12}=-{3}/{2}υRT_{12}$
$A_{23}=υRT_{23}=p∆V_{23}$
Анализируя данные, составляем уравнение и выражаем ответ:
$A=A_{12}+A_{23}$
$A_{12}={3}/{5}A$
$A_{23}={3·10}/{5}=6$кДж.
Задача 11
Лазер излучает световые импульсы с энергией 200 мДж. Частота повторения импульсов 10 Гц. КПД лазера, определяемый отношением излучаемой энергии к потребляемой, составляет 4,0%. Какой объём воды нужно прокачать за один час через охлаждающую систему лазера, чтобы вода нагрелась не более чем на 5,0◦С?
Решение
Дано:
$E=200$мДж
$υ=10$Гц
$t=1$час
$∆t′=5°$
$η=4%$
$V_в-?$
Решение:
1) Мощность излучения $P_{изл}=W·υ$.
2) Потребляемая мощность $P_л={P_{изл}}/{η}$
3) Мощность охлаждения: $P_{охл}=P_л-P_{изл}=P_{изл}{(1-η)}/{η}$
4) $Q_{охл}=P_{охл}·t$ выразим через числовой баланс $Q_{охл}=ρ·υ·c·∆t$
5) Выразим и получим $V={W·υ·T}/{ρ·c·∆t′}·{1-η}/{η}={200·10^{-3}·10·3600}/{1000·4.2·10^3·5}·{1-0.04}/{0.04}=8.2л$
Задача 12
Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. Находящийся в трубке воздух отделён от атмосферы столбиком ртути длиной 11 см. Трубку перемещают вдоль её горизонтальной оси с постоянным ускорением, равным 8,6 м/с2, сначала запаянным концом вперёд, а затем открытым концом вперёд. В первом случае длина воздушного столбика в трубке оказалась в 1,3 раза больше, чем во втором. Определите атмосферное давление, считая температуру газа в трубке постоянной.
Решение
Дано:
$m_1=m_2=3$кг
$k=1$Н/м
$μ=0.2$
$υ-?$
Решение:
Запишем уравнения для I и II случаев перемещения трубки:
$↙{II}↖{I}$ $\{\table\p_0+ρ_pgl=p; \p+ρ_pgl=p_0;$ $\{\table\p_0{l}/{2}=p{l}/{2}(p_0+ρ_pglρe)+ρe{l^2}/{2}; \p_0{l}/{2}=p_0{l}/{2}+∆l(p_0-ρgl)-ρgl)-ρg{l^2}/{2};$
$↙{II}↖{I}$ $\{\table\∆l={ρgl^2}/{2(p_0+ρgl)};$ $⇒$ |учитывая, что $g=8.6м/с^2$| $⇒{1}/{1.3}={p_0-ρgl}/{p_0+ρgl}⇒p_0={2.3·gρl}/{0.3}={2.3·8.6·1.3·54}/{0.3}=98.6$кПа.
Задача 13
Тепловая машина с максимально возможным КПД имеет в качестве нагревателя резервуар с кипящей водой при температуре 100◦C, а в качестве холодильника — сосуд со льдом при температуре 0◦C. Какая масса льда растает при совершении машиной работы 1,22 МДж?
Решение
Дано:
$t_1=100°$
$t_1=0°$
$A=1.22·10^6$Дж
$λ=3.3·10^5$Дж/кг
$m-?$
Решение:
Максимально возможный КПД достигается, если тепловая машина работает по циклу Карно. Он равен: $η={T_1-T_2}/{T_1}$(1), где $T_1=(t_1+273)K=373K; T_2=(t_2+273)K=273K$. $η={373-273}/{373}=0.268$
$T_1, T_2$ - абсолютные температуры нагревателя и холодильника. С другой стороны, по определению КПД: $η={A}/{Q_{пол}}$(2), где $A=Q_{пол}-|Q_{отд}|$ - работа газа за цикл; $Q_{пол}$ - количество теплоты, полученное за цикл от нагревателя; $Q_{отд}$ - количество теплоты, отданное за цикл холодильнику. Из равенства: ${T_1-T_2}/{T_1}={Q_{пол}-|Q_{отд}|}/{Q_{пол}}$, находим, что $1-{T_2}/{T_1}=1-{Q_{отд}}/{Q_{пол}}$, откуда получаем $|Q_{отд}|=Q_{пол}·{T_2}/{T_1}$(4). Из (2): $Q_{пол}={A}/{η}$(5). Подставим (5) в (4): $|Q_{отд}|={A·T_2}/{η·T_1}$(6).
Отданная холодильнику теплота расходуется на таяние льда при температуре плавления. Следовательно, $|Q_{отд}|=mλ$(7). Приравняем (6) и (7): $mλ={A·T_2}/{η·T_1}⇒m={A·T_2}/{ηλ·T_1}$(8), где $λ$ - удельная теплота плавления льда.
Подставим числовые значения в (8): $m={1.22·10^6·273}/{0.268·3.3·10^5·373}≈10.1$кг.
Задача 14
За один цикл идеальная тепловая машина совершает работу, составляющую 25 кДж. При изотермическом сжатии работа внешних сил равна 20 кДж. Определите отношение температуры нагревателя к температуре холодильника.
Решение
Дано:
$A=25·10^3Дж$
$A′=20·10^3Дж$
${T_н}/{T_х}-?$
Решение:
КПД идеальной тепловой машины определяется выражением: $η={T_н-T_х}/{T_н}=1-{T_х}/{T_н}$(1), откуда ${T_x}/{T_н}=1-η$(2).
С другой стороны: $η={Q_н-|Q_x|}/{Q_н}={A}/{Q_н}$(3).
При изотермическом сжатии работа внешних сил равна 20кДж, значит, в этом процессе газ отдает тепло холодильнику. Согласно 1 закону термодинамики $Q_х=-A'+0$ и значит, $A′=|Q_x|$. Тогда найдем $Q_н$ - количество теплоты, полученное от нагревателя: $Q_н=A+|Q_x|=A+A′=25+20=45кДж.$
По формуле (3) найдем КПД $η$: $η={A}/{Q_н}={25·10^3}/{45·10^3}=0.55$(5)
Подставим числовые значения в (2) и найдем ${T_н}/{T_х}$:
${T_х}/{T_н}=1-0.555=0.444$
${T_н}/{T_х}={1}/{0.444}$
${T_н}/{T_х}=2.25$
Задача 15
Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд длиной 0,6 м с гладкими стенками, разделённый на две части тонким подвижным теплонепроницаемым поршнем, заполнен идеальным газом. В начальный момент объём левой части вдвое больше объёма правой, а температура в обеих частях одинакова. Температуру газа в правой части увеличили вдвое, а в левой поддерживают постоянной. Найдите перемещение поршня. Ответ выразите в (см).
Решение
Дано:
$L = 0.6м$
$V_1 = 2V_2$
$T_l = T_2$
$T_2*=2Т_2$
$T_1*=T_1$
$∆l-?$
Решение:
Приведем рисунок для решения задачи, причем условимся писать все величины, соответствующие начальному моменту времени, писать без «звездочки», а конечному — со «звездочкой».
Так как поршень и в начальный, и в конечный момент времени будет находиться в равновесии, то можно записать первый закон Ньютона и два уравнения Клапейрона-Менделеева.
$\{\table\p_1S=p_2S; \p_1V_1=υ_1RT_1; \p_2V_2=υ_2RT_2;$
Из первой строки системы видно, что давления газов равны, те. $р_1 = р_2 = р$. Зная, что по условию $V_1=2V_2$ и $T_1= T_2 = Т$, получим:
$\{\table\2pV_2=υ_1RT; pV_2=υ_2RT;$
Поделив верхнее выражение на нижнее, имеем: ${υ_1}/{υ_2}=2$.
Отлично, мы нашли отношение количества молей газов в левой и правой части сосуда. Теперь повторим то же самое и для конечного момента времени, те. опять запишем первый закон Ньютона и два уравнения Клапейрона-Менделеева:
$\{\table\p_1*S=p_2*S; \p_1*V_1*=υ_1RT_1*; \p_2*V_2*=υ_2RT_2*;$
Опять видно, что $р_1* =р_2* = р*$. Теперь разберемся с температурами. Так как $Т_2* = 2Т_2 = 2Т$ и $Т_1*=Т_1=Т$, то очевидно, что их отношение равно ${Т_2*}/{Т_1*}=2$. Тогда:
$\{\table\p_1*V_1*=υ_1RT; \p*V_2*=2υ_2RT;$
Поделим нижнее выражение на верхнее: ${V_2*}/{V_1*}=2{υ_2}/{υ_1}=2·{1}/{2}=1$
Значит поршень в конце разделит сосуд на две равные части. Для того, чтобы узнать на сколько сместиться поршень, следует заметить такой факт: ${L}/{l_1}={V}/{V_1}$.
В задаче считается, что поршень имеет нулевую толщину. В этой формуле $V$ — это общий объем сосуда, равный $V = V_1 + V_2$, тогда: ${L}/{l_1}={V}/{V_1}={V_1+V_2}/{V_1}=1+{V_2}/{V_1}=1+{1}/{2}={3}/{2}⇒l_1={2}/{3}L$
Проделаем такие же действия для конечного момента: ${L}/{l_1*}={V}/{V_1*}={V_1*+V_2*}/{V_1*}=1+{V_2*}/{V_1*}=1+1=2⇒l_1*={1}/{2}L$
Перемещение поршня можно найти по формуле: $∆l=l_1-l_1*={2}/{3}L-{1}/{2}L={1}/{6}L; ∆l={0.6}/{6}=0.1м$.
Задача 16
Одноатомный газ участвует в циклическом процессе, представленном на pV -диаграмме. В состоянии 2 его температура в 4 раза выше, чем в состоянии 1. Определите КПД циклического процесса.
Решение
Дано:
$i=3$
$T_2=4T_1$
$η-?$
Решение:
КПД находится как отношение работы за цикл к количеству теплоты, полученной за цикл. В данном случае, теплота получена на участке 1-2. На этом участке давление и объем прямо пропорциональны: ${p_1}/{p_2}={V_1}/{V_2}$
Из уравнения Менделеева-Клайперона: ${p_1V_1}/{T_1}={p_2V_2}/{T_2}$ следует, что $({p_1}/{p_2})^2={T_}/{T_1}$ т.е. ${p_2}/{p_1}={V_2}/{V_1}=√4=2$. $p_2=2p_1, V_2=2V_1$
Работа А за цикл равна: $A={1}/{2}(p_2-p_1)·(V_2-V_1)≈{1}/{2}(p_2V_2-p_1V_1-p_2V_1+p_1V_1)={1}/{2}(2p_1·2V_1-p_1·2V_1-2p_1V_1+p_1V_1)={1}/{2}(4p_1V_1-2p_1V_1-2p_1V_1+p_1V_1)=0.5p_1V_1$
Количество теплоты равно: $Q=A_{1,2}+∆U_{1,2}={p_1+p_2}/{2}·(V_2-V_1)+{3}/{2}(p_2V_2-p_1V_1)={3p_1}/{2}·(2V_1-V_1)+{3}/{2}(2p_1·2V_1-p_1V_1)={3p_1V_1}/{2}+{3·3p_1V_1}/{2}={12}/{2}p_1V_1=6p_1V_1$
Тогда КПД равен: $η={A·100%}/{Q_{пол}}={0.5p_1V_1}/{6p_1V_1}·100%≈8.33%$
Задача 17
Автомобиль затрачивает 8 л бензина на 100 км. Температура газа в цилиндре двигателя 900◦C, а отработанного газа 100◦C. Какова развиваемая мощность двигателя, если автомобиль едет со скоростью 60 км/ч? Плотность бензина 700 кг/м3, удельная теплота сгорания бензина 44 МДж/кг.
Решение
Дано:
$t_1=900°C$
$t_2=100°C$
$υ=60км/ч≈16.66м/с$
$V=8л=8·10^{-3}м^3$
$p=700кг/м^3$
$q=44·10^6Дж/кг$
$S=100км=10^5м$
$p-?$
Решение:
Мощность, развиваемую двигателем автомобиля, можно найти по формуле: $p={A}/{t}$(1). Считая, двигатель автомобиля идеальной тепловой машиной, найдем его КПД: $η={A}/{Q_1}={T_1-T_2}/{T_1}$, откуда $A=({T_1-T_2}/{T_1})·Q_1$(2), где полученное от нагревателя количество теплоты: $Q_1=q·m=q·p·V$(3).
Учитывая, что время $t={S}/{υ}$(4), окончательно получим: $p={A}/{t}={({T_1-T_2}/{T_1})·q·p·V·υ}/{S}$(5), где $T_1=t_1+273°C=900°C+273°C=1173K; T_2=t_2+273°C=100°C+273°C=373K$
Подставим числа в (5): $p={({1173K-373K}/{1173K})·44·10^6·700·8·10^{-3}·16.66}/{10^8}=0.682·440·0.7·8·16.66=28007.956≈28кВт$
Задача 18
В цилиндрическом сосуде под поршнем массой 10 кг находится идеальный газ. Начальная термодинамическая температура газа равна 25◦С. После того, как на поршень сверху поставили гирю и система пришла в равновесие, температура газа повысилась в 4 раза, а объём, занимаемый газом, уменьшился в 1,25 раза. Какова масса гири? Трение поршня о стенки цилиндра и атмосферное давление не учитывать.
Решение
Дано:
$m_1=10$кг
$t_1=25°C$
$T_1=t_1+273=298K$
$T_2=4T_1=4·298K=1192K$
$V_1=V$
$V={V}/{1.25}$
$m_2-?$
Решение:
Давление по определению: $p={F}/{S}={mg}/{S}$, с другой стороны, давление газа из уравнения Менделеева-Клайперона: $p={υRT}/{V}$. Учитывая, что поршень уравновешен внешним и внутренним давлением, имеем для обоих случаев: $p_{внут}=p_{внеш}$(1).
${m_1g}/{S}={υRT}/{V}$(2) и ${(m_1+m_2)g}/{S}={1.25υR4T_1}/{V}$(3).
Разделим почленно (3) на (2): ${(m_1+m_2)g}/{S}:{m_1g}/{S}={5υRT_1}/{V}:{υRT_1}/{V}$.
${(m_1+m_2)g}/{S}·{S}/{m_1g}={5υRT_1}/{V}·{V}/{υRT_1}⇒{m_1+m_2}/{m_1}=5; m_1+m_2=5m_1$, откуда $m_2=5m_1-m_1=4m_1$(4)
Подставим числа в (4): $m_2=4m_1=4·10=40$кг
Задача 19
Какое количество теплоты рабочее вещество в цикле Карно отдаёт холодильнику, если количество теплоты, полученное от нагревателя, составляет 100 кДж? Температуры нагревателя и холодильника в рассматриваемом цикле Карно такие же, как максимальная и минимальная температуры цикла, изображённого на рисунке.
Решение
Дано:
$T_н=10^5$Дж
$p_1=2p_0$
$V_1=V_0$
$p_2=2p_0$
$V_2=2V_0$
$p_3=p_0$
$V_3=2V_0$
$p_4=p_0$
$V_4=V_0$
$T_x-?$
Решение:
КПД цикла Карно определяется выражением: $η={Т_н-Т_х}/{Т_н}·100%$(1)
Из уравнения идеального газа $pV={m}/{μ}RT$(2), следует: ${p_1V_1}/{T_1}={p_2V_2}/{T_2}⇒{2p_0V_0}/{T_1}={2p_0V_0·2}/{T_2}⇒T_2=2T_1$(3)
${p_2V_2}/{T_2}={p_3V_3}/{T_3}⇒{2p_02V_0}/{T_2}={p_02V_0}/{T_3}⇒T_2=2T_3$(4)
Из уравнений (3) и (4) следует, что $T_1=T_3$(5)
${p_3V_3}/{T_3}={p_4V_4}/{T_4}⇒{p_02V_0}/{T_3}={p_0V_0}/{T_4}⇒T_3=2T_4$(6)
$T_2=2T_3=2·(2T_4)=4T_4$(7)
Таким образом, макисмальная температура цикла - $Т_2$, минимальная - $Т_4$. Тогда температура холодильника $T_x=T_4={T_2}/{4}={T_н}/{4}={10^5}/{4}={100}/{4}·10^3=25$кДж
Задача 20
Для приготовления ванны при температуре 40◦С используется водонагреватель, который даёт воду, нагретую до температуры 65◦С. Температура воды в водопроводе составляет 15◦С. Каков объём ванны, если для её приготовления используется 135 л воды из водопровода?
Решение
Дано:
$V_x=135$л
$t=40°C$
$t_1=65°C$
$t_2=15°C$
$V-?$
Решение:
Объем ванны равен сумме объемов холодной воды из водопровода $V_x$ и горячей воды из водонагревателя $V_г$: $V=V_x+V_г$(1)
При смешивании горячей и холодной воды происходит теплообмен между двумя системами: горячая вода отдает часть своей энергии холодной воде, а холодная вода принимает эту энергию: $Q_г=Q_x$(2), учитывая, что масса воды $m=p·V$(3), $V$ - объем воды; $p$ - плотность воды. $Q_г=c·m_г·(t_1-t)=c·p·V_г·(t_1-t)$ - количество теплоты, которое отдает горячая вода; $Q_х=c·m_х·(t-t_2)=c·p·V_х·(t-t_2)$ - количество теплоты, которое принимает холодная вода;$c$ - удельная теплоемкость воды.
$c·p·V_г(t_1-t)=c·p·V_x·(t-t_2)$
$25V_г=25V_ч⇒V_г=V_х$
Получается, что объем горячей и холодной воды одинаковы. Учитывая, что объем ванны: $V=V_x+V_г=135+135=270$л.