Задание 29. Механика (расчетная задача). ЕГЭ 2021 по физике
Средний процент выполнения: 19.2%
Ответом к заданию 29 по физике может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задачи для практики
Задача 1
Камень бросили в горизонтальном направлении. Через 3 с его скорость оказалась направленной под углом 30◦ к горизонту. Определите начальную скорость камня. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение
Дано:
$t=3$с
$α=30°$
$g=10м/с^2$
$υ_0-?$
Решение:
Движение тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью $υ_0↖{→}$ с высоты $h$ рассматривают как комбинацию двух движений:
- горизонтальное (равномерное) со скоростью $υ_0↖{→}$;
- вертикальное свободное падение (равноускоренное с ускорением свободного падения $g=10м/с^2$).
Значит $υ_y=g·t$(1), $υ_х=υ_0$ (2)
(горизонтальная составляющая скорости не меняется и равна $v_0$, так как она была направлена горизонтально).
Если спустя t = 3с скорость направлена под углом α, то проекции скоростей в это время определяются так:
$υ_x=υ·cosα$, $υ_y=υ·sinα$.
Тогда отношение ${υ_y}/{υ_x}={υ·sinα}/{υ·cosα}=tgα$ (3)
С учетом (1) и (2) уравнение (3) можно переписать так:
${g·t}/{υ_0}=tgα$
Тогда $υ_0={gt}/{tgα}$(3).
Подставим числовые значения в (3):
$υ_0={10·3}/{tg30°}={30}/{{1}/{√3}}={30}/{1}:{1}/{√3}=30·√3=30·1.732=51.9$м/с.
Задача 2
Два шара массами 0,3 кг и 0,2 кг находятся на двух нитях, подвешенных в одной точке. Большой шар отклонили на угол 60◦ и отпустили. На какой максимальный угол отклонятся от вертикали оба шара, если соударение шаров абсолютно неупругое?
Решение
Дано:
$m_1=0.3$кг
$m_2=0.2$кг
$α=60°$
$β-?$
Решение:
Запишем закон сохранения энергии: $W_{п_1}=W_{к_1}$ или $m_1gh_1={m_1υ_1^2}/{2}$(2), где $h_1=l(1-cosα)$, где $l$ - длина нити. Тогда скорость первого шара перед ударом: $υ_1=√{2gl(1-cosα)}$(3). Запишем закон сохранения импульса: импульс системы остается постоянным при любых взаимодействиях внутри системы: $m_1υ_1↖{→}=(m_1+m_2)·U↖{→}$(4). В проекции на ось $X$: $m_1υ_1=(m_1+m_2)·U$(5). Тогда скорость шаров после соударения: $U={m_1υ_1}/{(m_1+m_2)}$(6). Запишем закон сохранения энергии: $W'_{к_1}=W'_{п_1}$ или ${m_1U^2}/{2}=m_1gh_2$, где $h_2=l(1-cosβ)$(7). Тогда высота $h_2$, на которую поднимутся шары после удара: $h_2={U^2}/{2g}={1}/{2g}·{m_1^2}/{(m_1+m_2)^2}·υ_1^2={1}/{2g}·{m_1^2·2gh_1}/{(m_1+m_2)^2}$ или $l-lcosβ={m_1^2·(l-l·cosα)}/{(m_1+m_2)^2}⇒l(1-cosβ)={0.09·l(1-cosα)}/{0.25}⇒0.25-0.25cosβ=0.09-0.09cosα⇒0.25-0.25cosβ=0.09-0.09cos60°⇒0.25-0.25cosβ=0.09-0.09·0.5$
$0.25cosβ=0.25-0.09+0.045$
$0.25cosβ=0.205$
$cosβ={0.205}/{0.25}=0.82$
$β=arccos(0.82)$
$β=34.91°$
Задача 3
Три одинаковых груза массами 2 кг каждый соединены нитью, перекинутой через блок так, как показано на рисунке 320. Масса груза 4 равна 5 кг. Определите ускорение системы грузов, если коэффициент трения грузов о плоскость 0,1, а плоскость составляет с горизонтом угол 30◦. Нити невесомые, нерастяжимые. Ответ округлить до сотых.
Решение
Дано:
$m_1=m_2=m_3=m=2$кг
$m_4=5$кг
$μ=0.1$
$g=10м/с^2$
$a-?$
Решение:
Учитывая, что нити невесомые и не растяжимые, то ускорения ${a_1}↖{→}={a_2}↖{→}={a}↖{→}$ и силы натяжения нитей: $T_{12}=T_{21};T_{23}=T_{32};T_{34}=T_{43}$(1).
Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:
1 груз: $Ох_1$: $ma=T_{12}-mgsinα-F_{тр_1}$, где $F_{тр_1}=μN_1$; $Oy_1$: $O=N_1-mgcosα$, откуда $N_1=mgcosα; ma=T_{12}-mgsinα-μmgcosα$(2).
2 груз: $Ох_1$: $ma=T_{23}-T_{21}-mgsinα-μmgcosα$(3); $Oy_1$: $O=N_2-mgcosα$, откуда $F_{тр_2}=μN_2=mgcosα$.
3 груз: $Ох_1$: $ma=T_{34}-T_{32}-mgsinα-μmgcosα$(4); $Oy_1$: $O=N_3-mgcosα$, откуда $F_{тр_3}=μN_3=mgcosα$.
4 груз: $Oy_2$: $m_4a=m_4g-T_{43}$(5).
Из (2) выразим $T_{12}$: $T_{12}=ma+mgsinα+μmgcosα$(6).
Подставим (6) в (3), учитывая, что $T_{12}=T_{21}$: $ma=T_{23}-ma-mgsinα-μmgcosα-mgsinα-μmgcosα; T_{23}=2ma+2mgsinα+2μmgcosα$(7).
Подставим (7) в (4), учитывая, что $T_{23}=T_{32}$: $ma=T_{34}-2ma-2mgsinα-2μmgcosα-mgsinα-μmgcosα; T_{34}=3ma+3mgsinα+3μmgcosα$(8).
Подставим (8) в (5), учитывая, что $T_{34}=T_{43}$: $m_4a=m_4g-3ma-3mgsinα-3μmgcosα; m_4a+3ma=m_4g-3mgsinα-3μmgcosα$.
$a(m_4+3m)=m_4g-3mgsinα-3μmgcosα$
$a={m_4g-3mgsinα-3μmgcosα}/{(m_4+3m)}$(9)
Подставим числовые значения в (9) и найдем ускорение $a$: $a={5·10-3·2·10·0.5-3·0.1·2·10·0.866}/{5+3·2}={50-30-5.196}/{11}={14.804}/{11}=1.345м/с^2≈1.35м/с^2$.
Задача 4
С горки высотой 10 м, расположенной под углом 30◦ к горизонту, скатывается мальчик на санках. Какое расстояние проедут санки по горизонтальной поверхности после скатывания с горки, если коэффициент трения на всём пути 0,05? Ответ округлите до десятых
Решение
Дано:
$h=10$м
$μ=0.05$
$α=30°$
$g=10м/с^2$
$S_2-?$
Решение:
1 способ: через закон изменения энергии
Сумма работ сил трения на участках $S_1$ и $S_2$ равна изменению полной механической энергии мальчика на санках:
$∆E=A_{тр1}+A_{тр2}$
$0-mgh=F_{тр1}S_1cos(a_1)+F_{тр2}S_2cos(a_2)$
$a_1$ $a_2$ - углы между силами трения и перемещениями. $a_1=a_2=180$
$-mgh=-F_{тр1}S_1-F_{тр2}S_2$
$mgh=F_{тр1}S_1+F_{тр2}S_2$ (1)
Найдём силы трения:
2 закон Ньютона при движении по склону: $ma↖{→}_1=mg↖{→}+F_{тр}↖{→}_1+N↖{→}_1$
Проекция на ось, перпендикулярную наклонной поверхности: $N_1-mgcosα=0$ $=>$ $N_1=mgcosα$
Путь, пройденный санками по горе $S_1$ равен: $S_1={h}/{sinα}$
$F_{тр1}=μN_1=μmgcosα$
2 закон Ньютона при движении по горизонтальной поверхности: $ma↖{→}_2=mg↖{→}+F_{тр}↖{→}_2+N↖{→}_2$
Проекция на вертикальную ось: $N_2-mg=0$ $=>$ $N_2=mg$
$F_{тр2}=μN_2=μmg$
Подставим всё в уравнение (1):
$mgh=μmgcosα{h}/{sinα}+μmgS_2$ $h=μcosα{h}/{sinα}+μS_2$ $h-μctgα{h}=μS_2$ $S_2=h/μ(1-μctgα)=182.6$
***
2 способ: через кинематику
Запишем второй закон Ньютона: $ma↖{→}=mg↖{→}+F_{тр}↖{→}+N↖{→}$(1). В проекциях на Ох: $ma=mgsinα-F_{тр}$(2), Oy: $O=N-mgcosα$(3), откуда $N=mgcosα$(4). Учитывая, что сила трения $F_{тр}=μN=μmgcosα$(5). Тогда ускорение тела из (2): $a={mgsinα-F_{тр}}/{m}={mgsinα-μmgcosα}/{m}=g(sinα-μcosα)$(6). Путь, пройденный санками по горе $S_1$ равен: $S_1={h}/{sinα}={υ^2}/{2a}$. Откуда квадрат скорости в конце спуска: $υ^2={2ah}/{sinα}={2gh(sinα-μcosα)}/{sinα}=2gh(1-μctgα)$(7). Запишем закон сохранения энергии: ${mυ^2}/{2}-0=F_{тр}·S_2$. Откуда $S_2={mυ^2}/{2F_{тр}}$(8), где $F_{тр}=μmg$. Тогда расстояние, которое санки пройдут по горизонтальному участку до полной остановки: $S_2={mυ^2}/{2F_{тр}}={m·2gh(1-μctgα)}/{2μmg}={h}/{μ}(1-μctgα)$(9).
Подставим числовые значения и найдем $S_2$: $S_2={10}/{0.05}·(1-0.05·ctg30)=200·(1-0.05·√3)=200(1-0.0866)=200(0.91339)=182.679=182.6$м.
Задача 5
Шарик массой 0,5 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от неё без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту 30◦. За время удара плоскость получает импульс 2 кг·м/c. Определите, на какую высоту (относительно точки отскока) поднимется тело. Ответ выразите в см.
Решение
Решение:
По закону сохранения энергии $F∆t=m∆υ$, где $∆υ=υ_1·cosα-(-υ_2·cosα)⇒∆υ=cosα(υ_1+υ_2); υ_1=υ_2=υ$. Тогда $F∆t-2·m·υ·cosα$. Из условия $υ_y=υ·sin({π}/{2}-2·α)-g·t=υ·cos2α-gt; υ_y=0$ в верхней точке, следовательно, $t={υ·cos2α}/{g}$, а $H={υ^2·sin^2α}/{2g}; υ={F∆t}/{2m·cosα}$, тогда $H={({4}/{2·0.5·{√3}/{2}})·0.5^2}/{2·10}=6.7$см
Задача 6
Сплошной кубик плотностью 960 кг/м3 плавает на границе раздела воды и керосина, погружаясь в воду на 5 см. Слой керосина располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите длину ребра кубика.
Ответ дайте в сантиметрах.Решение
Дано:
$h_в=0.05$м
$ρ_в=1000{кг}/{м^3}$
$ρ_к=800{кг}/{м^3}$
$ρ_{куб}=960{кг}/{м^3}$
$h_{куб}-?$
Решение:
По 2-му закону Ньютона $mg=F_{A_1}+F_{A_2}; F_{A_1}=ρ_в·g·V_в$ и $V_в=h_в·S$ - объем в воде.
$F_{A_2}=ρ_к·g·V_к$ и $V_к=h_к·S$ - объем в керосине.
Тогда условия плавания кубика: $ρ_{куб}·g·h_{куб}·S=ρ_в·g·h_в·S+ρ_к·g·h_в·S$
$h_к=h_{куб}-h_в$, тогда $ρ_{куб}·g·h_{куб}·S=ρ_в·g·h_в·S+ρ_к·g·h_к·S-ρ_к·g·h_к·S=(ρ_в-ρ_к)h_в$
$h_{куб}={h_в(ρ_в-ρ_к)}/{ρ_{куб}-ρ_к}={0.05(1000-800)}/{960-800}=6.25$см.
Задача 7
Груз массой m = 1 кг падает с высоты h = 240 м и углубляется в песок на S = 0,2 м. Определите среднюю силу сопротивления грунта ‹Fc›, если начальная скорость падения груза ν0 = 14 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Дано:
$m=1$кг
$h=240$м
$S=0.2$м
$F_c-?$
$υ_0=14$м/с
Решение:
Полная механическая энергия груза в начале падения: $E_0=mgH+{mυ_0^2}/{2}$.
Изменение энергии груза до значения $E=0$ равно работе силе сопротивления грунта: $E-E_0=-F_c·S; $
$-E_0=-F_c·S; $
$mgH+{mυ_0^2}/{2}=F_c·S; $
$F_c={1}/{S}(mgH+{mυ_0^2}/{2})$
$F_c={1}/{0.2}(1·10·240+{1·14^2}/{2})≈12490$H.
Задача 8
В центр катка радиусом R приложена сила, равная его силе тяжести. Какой максимально должна быть высота порожка hmax, чтобы каток можно было закатить на порожек?
Решение
Решение:
Запишем равенство моментов от силы тяжести и от приложенной силы. Момент силы тяжести $mg√{R^2-(R-h)^2}$, а от действующей силы $F(R-h)$, тогда $mg√{R^2-(R-h)^2}=F(R-h)$, помним, что $F=mg$.
$R^2-(R-h)^2=(R-h)^2⇒R=√2(R-h)⇒1.41h=0.41R$.
$h={0.41}/{1.41}·R=0.293·R$
Задача 9
Маятник массой m отклонён на угол α от вертикали. Какова сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия?
Решение
Дано:
$m$ - масса
$α$ - угол
$T-?$
Решение:
1) Пусть $l$ - длина нити маятника. Определим начальную высоту шарика относительно положению равновесия $h=l-l·cosα=l(1-cosα)$.
2) По 2 закону Ньютона для груза маятника в момент прохождения им положения равновесия: $T↖{→}+mg↖{→}=ma↖{→}$ $a= {υ^2}/{l}$ - центростремительное ускорение. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $T-mg=m{υ^2}/{l}$ → $T=mg+m{υ^2}/{l}$ (1)
3) По закону сохранения энергии $mgh={mυ^2}/{2}$, $mg(l-l·cosα)={mυ^2}/{2}$
4) Тогда уравнение (1) примет вид $T=mg+2mg{(l-l·cosα)}/{l}=mg+2mg({l(1-cosα)}/{l})=mg(3-2cosα)$
Задача 10
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 3,13 м/с. Когда оно достигло верхней точки полёта, из того же места с такой же скоростью бросили второе тело. Определите, на каком расстоянии от точки бросания встретятся тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Дано:
$υ_0=3.13м/c$
$h-?$
Решение:
Запишем уравнения движения для 1 и 2 тела $\{\table\y=υ_0t_1-{gt_1^2}/{2}; \y=υ_0t_2-{gt_2^2}/{2};$
Также известно, что 2 тело бросили позднее по $t_1-t_2=τ$,
$τ$-время, за которое первое тело долетело до верхней точки.
В верхней точке $v=0=v_0-gτ$, значит $τ={υ_0}/{g}$.
$y=h$ - высота, на которой тела встретились.
Решим систему уравнений: (здесь представлено одно из множества возможных решений системы уравнений)
$\{\table\h=υ_0t_1-{gt_1^2}/{2}; \h=υ_0t_2-{gt_2^2}/{2};$
Вычитаем из верхнего уравнения нижнее:
$v_0(t_1-t_2)-g/2({t_1}^2-{t_2}^2)=0$
$v_0(t_1-t_2)-g/2(t_1-t_2)(t_1+t_2)=0$
$v_0-g/2(t_1+t_2)=0$
$v_0=g/2(t_2+τ+t_2)=g/2(2t_2+{υ_0}/{g})$ (учтено, что $t_1=t_2+τ$ и что $τ={υ_0}/{g}$)
$t_2={υ_0}/{2g}$
Подставим $t_2$ во второй уравнение: $h=υ_0{υ_0}/{2g}-{g/{2}({υ_0}/{2g})^2}={{υ_0}^2}/{2g}-1/{4}{{υ_0}^2}/{2g}={3}/{4}·{υ_0^2}/{2g}={3}/{4}·{{3.13}^2}/{2·10}≈0.4$м.
Задача 11
Чему равно ускорение силы тяжести на поверхности некоторой планеты, радиус которой равен радиусу Земли, но средняя плотность в 1,5 раза больше средней плотности Земли? Ускорение на Земле принять равным 10 $м/{c^2}$.
Решение
Если радиусы планет равны, то их объёмы тоже равны
Ускорение на Земле:$g_3=G{M_3}/{R_3}=G{ρ_3V}/{R_3}$
Ускорение на другой планете: $g_п=G{M_п}/{R_3}=G{1,5ρ_3V}/{R_3}$
$g_3=1,5g_п=15м/{c^2}$
Задача 12
Шарик массой 200 г, висящий на нити длиной 1,5 м, отводят в сторону так, чтобы нить заняла горизонтальное положение, и отпускают без толчка. Внизу на расстоянии 1,0 м под точкой подвеса вбит гвоздь. Какую силу натяжения будет иметь нить в момент, когда она вновь займёт горизонтальное положение, налетев на гвоздь?
Решение
Дано:
$m=200г=0.2$кг
$l=1.5$м
$h=1$м
Решение:
В момент, когда нижняя часть нити займет горизонтальное положение, шарик будет на той же высоте, что и гвоздь. Тогда по закону сохранения энергии $mgh={mυ^2}/{2}$ (1), где $h$ - расстояние между гвоздём и точкой подвеса маятника. (Высоту гвоздя берём за 0 потенциальной энергии, поэтому вся потенциальная энергия переходит в кинетическую). Искомая сила натяжения есть центростремительная сила, и она задаёт центростремительную составляющую $a_ц$ ускорения груза $a↖{→}$.
Второй закон Ньютона для груза: $T↖{→}+mg↖{→}=ma↖{→}$.
В проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону гвоздя: $T=ma_ц=m{υ^2}/{r}$ (2),
$r=l-h=1.5-1=0.5$м - длина части нити, которая ниже гвоздя.
Из (1) следует, что ${υ^2}=2gh$, тогда $T={m2gh}/r={0.2·2·10·1}/0.5=8H$
Задача 13
Два бруска массой 3,0 кг каждый, лежащие на горизонтальной поверхности, соединены невесомой недеформированной пружиной с жёсткостью, равной 1,0 Н/м. Коэффициент трения между брусками и поверхностью равен 0,20. Какую минимальную скорость нужно сообщить одному из брусков вдоль пружины, чтобы он, растянув пружину, смог сдвинуть второй брусок?
Решение
Дано:
$m_1=m_2=3$кг
$k=1$Н/м
$μ=0.2$
$υ-?$
Решение:
1) Чтобы сдвинуть 2-й брусок, сила упругости должна сравняться с максимальной силой трения покоя, т.е. с силой трения скольжения: $kx=μ·N$, $x$ - растяжение пружины, $N$ - сила реакции опоры.
Из 2 закона Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось получим, что $N=mg$, тогда $kx=μmg$ (1)
Мы знаем, что энергия пружины ${kx^2}/{2}$, а движущееся тело ${m·υ^2}/{2}$ должно затратить энергию на работу против сил трения и на растяжение пружины. Поэтому запишем закон сохранения энергии с учётом сил трения: ${m·υ^2}/{2}={kx^2}/{2}+μ·mg·x$ (2).
Из уравнения (1) получим: $x={μmg}/{k}$.
Подставим это в уравнение (2): ${m·υ^2}/{2}={k}/{2}·{(μmg)^2}/{k^2}+μmg·{μmg}/{k}$.
Преобразуя, получим: $υ=μg{√{3m}}/{k}=0.2·10{√{3·3}}/{1}=6м/с$
Задача 14
Плот массой 120 кг движется по реке со скоростью 5,3 м/с. С берега на плот бросают груз массой 85 кг, который летит со скоростью 12 м/с, направленной перпендикулярно скорости плота. Определите потери механической энергии при абсолютно неупругом ударе груза о плот.
Решение
Дано:
$m_1=120$кг
$υ_1=5.3$м/с
$m_2=85$кг
$υ_2=12$м/с
$∆E-?$
Решение:
Закон сохранения импульса: ${p_1}↖{→}+{p_2}↖{→}=p↖{→}$.
$p_1=m_1{υ_1}$ - импульс плота;
$p_2=m_2{υ_2}$ - импульс груза;
$p=(m_1+m_2){υ}$ - импульс системы после удара ($υ$ - скорость плота и груза после неупругого удара).
Так как импульсы тел до удара перпендикулярны, модуль импульса после удара можно найти по теореме Пифагора: $p^2=p_1^2+p_2^2$ $⇒(m_1+m_2)^2υ^2=m_1^2υ_1^2+m_2^2υ_2^2 ⇒$
$⇒υ^2={m_1^2υ_1^2+m_2^2υ_2^2}/(m_1+m_2)^2$
Найдем скорость $υ$: $υ=√{m_1^2υ_1^2+m_2^2υ_2^2}/(m_1+m_2)=√{{120}^2{5,3}^2+{85}^2{12}^2}/(120+50)=5.8636м/с$
Запишем закон сохранения механической энергии: ${m_1υ_1^2}/{2}+{m_2υ_2^2}/{2}={(m_1+m_2)·υ^2}/{2}+∆E$, где $∆E$ - потери механической энергии.
$∆E={m_1υ_1^2}/{2}+{m_2υ_2^2}/{2}-{(m_1+m_2)·υ^2}/{2}$(7). Подставим числовые значения : $∆E={120·28.09}/{2}+{85·144}/{2}-{(205)·34.382}/{2}=1685.4+6120-3524.135=4281.265=4.3$кДж.
Ответ: 4,3 кДж
Другой способ нахождения скорости после удара:
Так как удар не упругий, будет иметь вид: $m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=(m_1+m_2)·υ↖{→}$(1). В проекциях на ось Ох и Оу имеем: $Ox: m_1υ_1=(m_1+m_2)·υ·cosα$(2); $Oy: m_2υ_2=(m_1+m_2)·υ·sinα$(3)
Разделим (3) и (2) и найдем угол $α$: ${sinα}/{cosα}={m_2υ_2}/{m_1υ_1}⇒tgα={85·12}/{120·5.3}=1.60377358490566$, откуда $α=arctg(1.60377)≈58.055°$(4). Найдем скорость $υ$ из (1): $υ={m_1υ_1}/{(m_1+m_2)·υ·cosα}={120·5.3}/{205·cos58°}=5.8636м/с$
Задача 15
Небольшой шарик, падая с высоты 1 м, отскакивает от земли со скоростью в 0,94 раза меньшей, чем до удара. Определите, сколько ударов совершит шарик за 1,3 с.
Решение
Дано:
$h_1=1$м
$υ_2=0.94υ_1$
$t=1.3$
$N-?$
Решение:
Падая с высоты $h_1$, шарик подлетает к полу со скоростью $υ_1$, а отталкивает от него со скоростью $υ_2=0.94υ_1$. Согласно закону сохранения механической энергии: $mgh_1={mυ_1^2}/{2}$ и $mgh_2={mυ_2^2}/{2}$, откуда $υ_1=√{2gh_1}$, а $υ_2=√{2gh_2}$
После почленного деления получим: ${υ_2}/{υ_1}={0.94υ_1}/{υ_1}={√{h_2}}/{√{h_1}}$, т.е. $h_2=(0.94)^2·h_1$.
Промежуток времени с момента падения шарика до второго удара об пол: $t=t_1+2t_2$, где $t_1$ - время падения шарика с высоты $h_1$ и $t_2$ - время падения шарика с высоты $h_2$.
Найдем $t_1$ и $t_2$: $h_1={gt_1^2}/{2}$, откуда $t_1=√{{2h_1}/{g}}=√{{2·1}/{9.8}}=0.451c$. Тогда $t_2=√{{2h_2}/{g}}=0.94√{{2h_1}/{g}}=0.94·0.451c=0.4246c$
Поскольку после первого удара шарику нужно подняться на высоту $h_2$, то время между первым и вторым ударом будет равно $2t_2$ или $2t_2=2·0.4246=0.849c$
Сложив $t_1$ и $2t_2$ получим: $t_1=2t_2=0.451+0.849=1.3c$. Значит, за время $t=1.3$ секунды, шарик совершает $N=2$удара.
Задача 16
Какой угол образует с вертикалью конический маятник, если за 2 с он совершает один полный оборот по окружности радиусом 10 см?
Решение
Дано:
$R=0.1$м
$t=2$c
$g≈10{м}/{с^2}$
$α-?$
Решение:
На маятник действуют сила тяжести $m{g}↖{→}$, сила напряжения нити $T↖{→}$.
Второй закон Ньютона для груза маятника: $m{g}↖{→}+T↖{→}=m{a}↖{→}$, где $a={υ^2}/{R}$ (1) - центростремительное ускорение.
$υ$ - линейная скорость груза маятника: $υ={2πR}/t$ (2)
Из рисунка видно, что в проекции на оси Ох и Оу имеем.$Ох: T·sinα=ma$ (3)$Оy: T·cosα-mg=0$ (4)
Выразим силу натяжения нити $T$ из (4): $T={mg}/{cosα}$. Подставим её в уравнение (3): ${mg}/{cosα}·sinα=ma$, с учётом выражения (1) и (2) получим: ${mg}/{cosα}·sinα=m{υ^2}/{R}$; ${g·sinα}/{cosα}={({2πR})^2}/{t^2R}$; ${sinα}/{cosα}={({2π})^2R}/{g·t^2}$; ${tgα}={({2π})^2R}/{g·t^2}$ $⇒α=arctg({4π^2R}/{gt^2})$. Тогда, $α=arctg({4·9.8596·0.1}/{10·4})≈5.6°$
Задача 17
Каков радиус окружности, описываемой коническим маятником, если он с вертикалью образует угол 15◦? Период обращения маятника составляет 2 с.
Решение
Дано:
$α=15°$
$t=2$c
$R-?$
Решение:
Из рисунка видно, что в проекции на оси Ох и Оу имеем: $a_{ц.б.}={υ^2}/{R}$(1).
$Ох: O=ma_{ц.б.}-T·cos(90°-α)$(2)
$Оy: O=mg-T·cosα$(3)
Учитывая, что $cos(90°-α)=sinα$, выразим силу натяжения нити $T$ и приравняем друг к другу: Из (2): $T={ma_{ц.б.}}/{sinα}={mυ^2}/{R·sinα}$(4)
Из (3): $T={mg}/{cosα}$(5). Приравняем (4) и (5): ${mυ^2}/{R·sinα}={mg}/{cosα}⇒υ^2={gR·sinα}/{cosα}⇒υ=√{gR·tgα}$(6)
Период колебаний $T={2πR}/{υ}$(7). Подставим (6) в (7): $T={2πR}/{√{gR·tgα}}⇒T^2={4π^2R^2}/{gR·tgα}⇒R={gT^2·tgα}/{4π^2}={10·4·0.268}/{4·9.8596}=0.27м$
Задача 18
Вертолёт, летящий на высоте 250 м со скоростью 30 м/с, сбрасывает груз. С какой скоростью груз упадёт на землю? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Дано:
$h=250$м
$υ_в=30{м}/{с}$
$g≈10{м}/{с^2}$
$υ_г-?$
Решение:
По закону сохранения механической энергии полная энергия системы в точке 1 равна полной энергии системы в точке 2: $E_1=E_2$(1), где $E_1=E_{п_1}+E_{к_1}; E_2=E_{п_2}+E_{к_2}; E_{п_1}=mgh; E_{к_1}={mυ_г^2}/{2}; E_{п_2}=0(h_2=0); E_{к_2}={mυ_в^2}/{2}$.
Подставим числовые значения: $mgh+{mυ_в^2}/{2}=0+{mυ_г^2}/{2}|·2$.
$υ_г^2=υ_в^2+2gh$
$υ_г=√{υ_в^2+2gh}$(4).
Подставим числовые значения в (4) и найдем скорость груза: $υ_г=√{900+2·10·250}=√{900+5000}=76.81≈77{м}/{с}$
Задача 19
Вертолёт, летящий на высоте 250 м, сбрасывает груз. Груз приземляется со скоростью 81 м/с. С какой скоростью летит вертолёт? Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ представьте в м/с с точностью до десятых
Решение
Дано:
$h=250$м
$υ_г=81{м}/{с}$
$g≈10{м}/{с^2}$
$υ_в-?$
Решение:
По закону сохранения механической энергии полная энергия системы в точке 1 равна полной энергии системы в точке 2: $E_1=E_2$(1), где $E_1=mgh+{mυ_в^2}/{2}$(2), $E_2={mυ_г^2}/{2}$(3).
Подставим числовые значения (2) и (3) в (1) $mgh+{mυ_в^2}/{2}={mυ_г^2}/{2}⇒{υ_в^2}/{2}={υ_г^2}/{2}-gh/·2$.
$υ_в^2=υ_г^2-2gh⇒υ_в=√{υ_г^2-2gh}$(4).
Подставим числовые значения в (4): $υ_в=√{(81)^2-2·10·250}=√{6561-5000}=√{1561}≈39.5{м}/{с}$