Задание 29. Электродинамика. Расчетная задача. ЕГЭ 2023 по физике
Средний процент выполнения: 18.1%
Ответом к заданию 29 по физике может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задачи для практики
Задача 1
Два одинаковых маленьких шарика, находясь на расстоянии 50 см, отталкиваются друг от друга с силой 80 мкН. Когда их привели в соприкосновение и отвели на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла на 90 мкН. Определите заряд шариков до их соприкосновения. Ответ выразите в нКл и округлите до целых.
Решение
Дано:
$F_1=80·10^{-6}H$
$r_1=0.5=r_2=r$
$∆F=90·10^{-6}H$
$k=9·10^9{Н·м^2}{Кл^2}$
$q_1-?q_2-?$
Решение:
Запишем закон Кулона до соприконовения шариков: $F_1=k{q_1q_2}/{r^2}$(1). После соприкосновения, заряды шариков стали одинаковыми и по закону сохранения электрического заряда имеем: $q_1+q_2=q+q=2q$ или $q_1=2q-q_2$(2). Запишем закон Кулона после соприкосновения шариков: $(F_1+∆F)=k{qq}/{r^2}={kq^2}/{r^2}$(3), где $q$ - заряд шариков после соприкосновения, найдем $q$: $q=√{{(F_1+∆F)r^2}/{k}}=√{{170·10^{-6}·0.25}/{9·10^9}}=6.87·10^{-8}$Кл. Подставим (2) в (1) и найдем заряд $q_2$: $F_1={k(2q-q_2)2q_2}/{r^2}={2kqq_2-kq_2}/{r^2}$ или $kq_2^2-2kqq_2+F_1r^2=0 |:2$
$q_2^2-2kqq_2+{F_1r^2}/{k}=0$ или $q_2^2-13.74·10^{-8}q_2+2.22·10^{-15}=0$.
$D=b^2-4ac=188.78·10^{-16}-8.88·10^{-15}=10^{-14}=100·10^{-16}$.
$q_{2(1,2)}={13.74·10^{-8}±10·10^{-8}}/{2}$.
$q_{2(1)}={3.74·10^{-8}}/{2}=1.87·10^{-8}=19·10^{-9}=19$нКл.
$q_{2(2)}={13.74·10^{-8}+10·10^{-8}}/{2}$ - не удовлетворяет условию задачи.
Подставим числовые значения в (2): $q_1=2·6.87·10^{-8}-19·10^{-9} Кл=118$нКл.
Задача 2
На дифракционную решётку, имеющую 200 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны 5,5 · 10−7 м. Сколько всего дифракционных максимумов можно увидеть на экране?
Решение
Дано:
$N=200$
$l=10^{-3}$м
$λ=5.5·10^{-7}$м
$φ=90°$
$(2k+1)-?$
Решение:
Условие главных максимумов интенсивности на дифракционной решетке: $d·sinφ=±kλ$(1), где $k=0,1,2,3...,$ где $d={l}/{N}$(2) - период дифракционной решетки, $k$ - номер главного максимума. $sinφ=sin90°=1$. Найдем $k$: $d·sinφ=kλ; k={d}/{λ}·sinφ={l·sinφ}/{N·λ}$(3).
Подставим числовые значения в (3): $k={10^{-3}·1}/{200·5.5·10^{-7}}={10^4}/{1100}=9.09=9$. Тогда число максимумов на экране $(2k+1)=2·9+1=18+1=19$.
Задача 3
Электрический заряд 5 · 10−8 Кл в некоторой точке создаёт потенциал электрического поля 500 В. В эту точку поместили второй заряд 10 · 10−8 Кл. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить второй заряд ближе к первому на 10 см?
Решение
Дано:
$Q=5·10^{-8}$Кл
$φ_1=500$В
$q=10·10^{-8}$Кл
$∆r=0.1$м
$A_{12}-?$
Решение:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда $q_2$ из точки 1 в точку 2 равна: $A_{12}=q(φ_1-φ_2)$(1).
Найдем расстояние $r_1$ от заряда $Q$ до точки 1, в которой потенциал $φ_1=500B$.
Потенциал $φ_1$ равен: $φ_1={W_1}/{q}$, где $W_1=k{Qq}/{r_1}$.
Тогда $φ_1=k{Q}/{r_1}$(2), где $k=9·10^9{Н·м^2}/{Кл^2}$ - коэффициент пропорциональности,
откуда $r_1={kQ}/{φ_1}={9·10^9·5·10^{-8}}/{5·10^2}=0.9$м(3).
Из рисунка видно, что $r_2=r_1-∆r=0.9-0.1=0.8$м.
Найдем потенциал $φ_2$: $φ_2={kQ}/{r_2}={9·10^9·5·10^{-8}}/{0.8}={450}/{0.8}=562.5$B.
Найдем работу поля $A_{12}$: $A_{12}=q_2(φ_1-φ_2)=10·10^{-8}·(500-562.5)=-625·10^{-8}=-6.25·10^{-6}=-6.25$мкДж.
Работа, совершаемая полем при таком перемещении отрицательна, так как сила кулона, действующая на заряд q со стороны заряда Q, направлена против перемещения заряда.
Работа внешних сил, перемещающих заряда, будет противоположна по знаку: $A_{12 (внешн.)}=-A_{12}=6.25=6.25$мкДж.
Задача 4
В колебательном контуре электроёмкость переменного конденсатора увеличили на 5 мкф. При этом частота электромагнитных колебаний в контуре изменилась в √2 раз. Определите первоначальную электроёмкость конденсатора.
Решение
Дано:
$∆С=5·10^{-6}$ф
${v_1}/{v_2}=√2; {v_2}/{v_1}={1}/{√2}$
$C_1-?$
Решение:
Запишем формулу Томсона: $T=2π√{LC}$(1), где $L$ - индуктивность катушки, $C$ - электроемкость конденсатора. Учитывая, что частота электромагнитных колебаний $v={1}/{T}={1}/{2π√{LC}}$(2), имеем: $v_1={1}/{2π√{LC_1}}$(3), $v_2={1}/{2π√{LC_2}}$(4). Учтем, что $∆C=C_2-C_1$ или $C_2=C_1+∆C$, получим: $v_2={1}/{2π√{L(C_1+∆C)}}$(5). Разделим (5) на (3): ${v_2}/{v_1}={1}/{2π√L·√{C_1+∆C}}·{2π√L·√{C_1}}/{1}={√{C_1}}/{√{C_1+∆C}}$ или $({v_2}/{v_1})^2={C_1}/{C_1+∆C}$(6).
Подставим числовые значения в (6) и найдем $C_1$: $({1}/{√2})^2={C_1}/{C_1+∆C}⇒{1}/{2}={C_1}/{C_1+∆C}⇒C_1+∆C=2C-1⇒C_1=∆C=5·10^{-6}=5$мкФ.
Задача 5
На катод сначала подействовали излучением с длиной волны λ1 = 500 нм, потом с длиной волны λ2 = 200 нм, и оказалось, что максимальная скорость фотоэлектронов во втором случае в 2 раза больше. Найдите, чему равна частота красной границы фотоэффекта для этого материала. Ответ запишите в Гц
Решение
Дано:
$λ_1=500·10^{-9}$м
$λ_2=200·10^{-9}$м
$υ_{2}=2·{υ_{1}}$
$v_{кр}-?$
Решение:
Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, поэтому $E_{2(k)}=4E_{1(к)}$. Пусть $E_{1(к)}=E$, тогда $E_{2(к)}=4E$.
Уравнение Эйнштейна запишем для 2-х случаев.
$\{\table\h{c}/{λ_1}=A_{вых}+E_{1(к)}; \h{c}/{λ_2}=A_{вых}+E_{2(к)};$ $⇒hc({1}/{λ_2}-{1}/{λ_1})=E_{2(к)}-E_{1(к)}=3E$
$h{c}/{λ_1}=A_{вых}+1/3hc({1}/{λ_2}-{1}/{λ_1})
⇒{h{c}/{λ_1}-1/3hc({1}/{λ_2}-{1}/{λ_1})}=A_{вых}$; $A_{вых}=hv_{кр}$.
$hv_{кр}=hc({4/3}{1}/{λ_1}-1/3{1}/{λ_2})$
$v_{кр}=c({4/3}{1}/{λ_1}-1/3{1}/{λ_2})$
$v_{кр}={3·10^8}({{4/3}{1}/{500·10^{-9}}-1/3{1}/{200·10^{-9}})=3·10^{14}$ Гц
Задача 6
Протон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 2 · 105 м/с. Напряжённость поля внутри конденсатора 3 кВ/м, длина его пластин 12 см. Найдите, во сколько раз скорость протона при вылете из конденсатора будет больше его начальной скорости. Ответ округлите до сотых.
Решение
Дано:
$υ_0=2$м/с
$E=3·10^3$В/м
$l=12·10^{-2}$м
${υ}/{υ_0}-?$
Решение:
$F=e·E$ - действующая на эелектрон.
$a={F}/{m}={e·E}/{m}; t={l}/{υ_0};U_y=at={eE}/{m}·{l}/{υ_0}$
${υ}/{υ_0}={√{υ_0^2+υ_y^2}}/{υ_0}={√{υ_0^2+({eE}/{m}·{l}/{υ_0})^2}}/{υ_0}=1.32$.
Задача 7
В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности Im = 8 мА, а амплитуда напряжения на конденсаторе Um = 2 В. В момент времени t напряжение на конденсаторе равно 1,5 В. Найдите силу тока в катушке в этот момент. Ответ округлите до десятых. Ответ выразите в (мА).
Решение
Дано:
$I_m=8·10^{-3}$А
$U_m=2$В
$U_1=1.5B(t_1)$
$I_1(t_1)-?$
Решение:
Закон сохранения для колебательного контура, состоящего из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$: ${C·U_m^2}/{2}={LI_m^2}/{2}⇔{C}/{L}={I_m^2}/{U_m^2}$.
Аналогично закон сохранения энергии для второго случая. ${C·U_^2}/{2}+{L·I^2}/{2} ={C·U_m^2}/{2}$. Выразим ток и получим: $I(t_1)=I_m√{1-{U^2}/{U_m^2}}=8·10^{-3}√{1-{1.5^2}/{2^2}}=5.3$мА.
Задача 8
Красная граница фотоэффекта для вещества фотокатода 320 нм. Фотокатод облучают светом с длиной волны 220 нм. При каком напряжении (в В) между анодом и катодом фототок прекращается?
Решение
Дано:
$λ_{к.г.}=320нм$
$λ^1=220нм$
$U_з-?$
Решение:
Уравнение Эйнштейна ${hc}/{λ}=A+{mυ^2}/{2}$. Тогда ${hc}/{λ_0}=A; {mυ^2}/{2}·eU$ подставим $U_з={hc}/{e}={λ_{к.г.}-λ}/{λ·λ_{к.г.}}=1.7B$
Задача 9
В середину пространства между обкладками конденсатора вставлена тонкая прослойка стекла толщиной d1 = 2 см и диэлектрической проницаемостью ε = 7. Расстояние между обкладками конденсатора d = 10 см, напряжение между ними U1 = 290 В. Найдите, какое напряжение установится между обкладками, если стекло вытащить.
Решение
Дано:
$d_1=2·10^{-2}$м
$E=7$
$U_1=290B$
$d=10*10^{-2}$м
$U_2-?$
Решение:
Так как диэлектрик заполняет конденсатор не полностью рассмотри его как систему из трех конденсаторов последовательно включенных.
$\{\table\c_1={ε_0·S}/{x}; \c_2={ε_0·ε·S}/{d_1}; \c_3={ε_0·S}/{y};$
$x=y={(d-d_1)}/{2}; {1}/{C_1}+{1}/{C_2}+{1}/{C_3}={1}/{C}$, тогда $C={ε_0·ε·S}/{d_1+ε(x+y)}; q_1=q_2; C_1U_1=C_2U_2; C={q}/{U}$
${ε_0·ε·S·U_1}/{d_1+E(x+y)}={ε_0·S·U_2}/{d}⇒U_2={ε_0·d·U_1}/{d_1+E(x+y)}={7·10^{-1}·290}/{2·10^{-2}+7·8·10^{-2}}=350B$
Задача 10
На дне сосуда, наполненного водой до высоты h=0.5м, находится точечный источник света. На поверхности воды плавает круглый диск так, что его центр находится над источником. При каком минимальном диаметре d диска лучи от источника не будут выходить из воды? если показатель преломления воды равен 1.33?
Решение
Дано:
$D-?$
Решение:
Лучи не будут выходить из воды, если на край диска луч будут падать под углом $α$, равным предельному углу полного внутреннего отражения на границе вода-воздух. Для этого минимальный радиус диска должен быть равен $R=h·tgα$, а значит минимальный диаметр: $D=2R=2h·tgα$
Для предельного угла полного внутреннего отражения выполняется условие: $sinα={n_{возд}}/{n_{воды}}={1}/{n_{воды}}$ (т.к.$ n_{возд}=1$) .
$tgα={sinα}/{√{1-sin^2α}}={1}/{√{n_{воды}^2-1}}$.
Тогда $D={2h}/{√{n_{воды}^2-1}}={2·0.5}/{√{{1.33}^2-1}}=1.14$м.
Задача 11
Плоский конденсатор ёмкостью C заполнен проводящим диэлектриком с проницаемостью ε и удельным сопротивлением ρ. Расстояние между пластинами равно d. Через сопротивление R конденсатор подключён к источнику с ЭДС E и внутренним сопротивлением r. Определите напряжённость электрического поля E в диэлектрике.
Решение
Решение:
Для данной ситуации необходима формула постоянного тока:
$\{\table\С={ε_0εS}/{d}; \R_c=ρ{d}/{S};$ $\{\table\.{S}/{d}·{C}/{εε_0}; \.{d}/{S}={R_c}/{ρ};$ $⇒R_c={ε_0ερ}/{c}$.
Закон Ома $U=I·R={ε·R}/{R+r}; E={U_c}/{d}; U_c={εR_c}/{R_c+R+r}$.
Тогда группируем и получим: $E={ε_0ερε}/{[ε_0ερ+Rc+rc]d}$.
Задача 12
Горизонтальный проводник длиной l = 0,20 м и весом P = 0,1 H, подвешенный на двух тонких невесомых нитях, находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B = 0,25 Тл. На какой угол α от вертикали отклонятся нити, поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток I = 2,0 A?
Решение
Решение:
При пропускании тока на проводнике действует сила Ампера $F_A=JBl(sin90=1)$
По 2 закону Ньютона: ${F_A}↖{→}+mg↖{→}+T↖{→}=0$.
$T$-общая сила натяжения двух нитей
m - масса стержня.
Сила тяжести покоящегося в воздух стержня $mg = P$
${F_A}$ - сила Ампера: ${F_A}=BIlsinβ$ ( $β=90°$, $sinβ=1$ )
Проекции 2 закона Ньютона на оси x и y:
${F_A}-Tsinα=0$
${-mg}+Tcosα=0$
Преобразуем уравнения и поделим одно на другое:
${F_A}=Tsinα$
${mg}=Tcosα$
${sinα}/{cosα}=tgα={F_A}/{mg}⇒α=arctg({BIl}/{P})$.
$α=arctg({0.25·2.0·0.2}/{0.1})=45°$
Задача 13
В магнитном поле с индукцией B = 10−2 Тл вращается стержень длиной l = 0,2 м с постоянной угловой скоростью ω = 100 c−1. Найдите ЭДС индукции, возникающей в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно силовым линиям магнитного поля.
Решение
Дано:
$B=10^{-2}$Тл
$l=0.2$м
$ω=100с^{-1}$
$ε_i-?$
Решение:
ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока $E_i=-{dФ}/{dt}; dФ=B·d·S$
Площадь сечения: $dS=πl^2·{ω}/{2π}·d·t·l^2·{ω}/{2}·d·t$.
Тогда $ε_i$ равна: $E_i=-{dФ}/{dt}=Bl^2{ω}/{2}=10^{-2}·0.2^2·{100}/{2}=20$мВ.
Задача 14
Шар радиусом 10 см с зарядом 1,11 · 10−10 Кл облучается светом с длиной волны 331 нм. Определите, на какое расстояние удалится фотоэлектрон, если работа выхода материала шара 2 · 10−19 Дж.
Решение
Дано:
$r=10^{-1}$см
$a=1.11·10^{-10}$Кл
$λ=331·10^{-9}$м
$A_{вых}=2·10^{-19}$
$R-?$
Решение:
1) По закону фотоэффекта $hυ=A_{вых}+e·ф_1$.
2) $ϕ_1={k·a}/{R}$(потенциал шара).
3) Выразим $R$ (расстояние до фотоэлектрона): ${hc}/{λ}=A_{вых}+{k·q}/{R}⇒R=({{hc}/{λ}-A_{вых}}/{k·q})={{6.62·10^{-34}·3·10^8}/{331·10^{-9}}-2·10^{-19}}/{9·10^9·1.6·10^{-19}=3.3$см
Задача 15
Два одинаковых проводящих шарика, масса которых равна m1 = m2 = 0,01 г, подвешены в одной точке на нитях длиной l = 1 м. Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд q, затем привели в соприкосновение с другим шариком, после чего шарики разошлись на расстояние r = 14 см. Определите модуль заряда q.
Решение
Дано:
$m_1=m_2=0.01·10^{-3}$кг
$l=1$м
$r=14$см
$2q-?$
Решение:
1) На каждый шарик действуют сила тяжести $mg$, сила упругости нити $F_{упр}$ и кулоновская сила.
2) Составим уравнение проекций 3-х сил на ось Ох, которая перпендикулярна упругости $sinα={n}/{2l}$.
$Ox: mg·cos(90-α)={Kq^2}/{r^2}·cosα$
3) Преобразуем: $2q=α√{{m·g·r^2}/{K}}·ctgα=α·√{{0.01·10^{-3}·10·(14·10^{-2})14.26}/{9·10^{-9}}}=7.8$нКл
Задача 16
Источник монохроматического электромагнитного излучения мощностью P = 100 Вт испускает Nф = 5,0 · 1020 фотонов за время ∆t = 1 c. Найдите длину волны λ этого излучения.(в 10^(-6)) Округлить до сотых
Решение
Дано:
$P=100$Вт
$n=5·10^{20}$
$t=1c$
$λ-?$
Решение:
$\{\table\P_1={P}/{n}; \P_1={E}/{t}={hυ}/{t}={hc}/{λ·t};$
${P}/{n}={h·c}/{λ·t}⇒λ={n·h·c}/{P·t}={5·10^20·6.63·10^{-34}·3·10^8}/{100·8}=0.99·10^{-6}м$
Задача 17
Четыре резистора сопротивлением $R$, $2R$, $3R$ и $4R$ и конденсатор электрической ёмкостью $C$ подключены к напряжению $U_0$ так, как показано на рисунке. Найдите заряд $q$ на конденсаторе.
Решение
Известно, что $q=C·U_{ac}$, где $U_{ac}=U_{ab}+U_{bc}$.
По закону Ома: $U_{ab}=I_0·R$, где $I_0$ - общий ток на всём участке цепи (он же протекает по резистору R, так как через конденсатор ток не течёт)
По закону Ома ток на всём участке цепи: $I_0={U_0}/{R+{(2R+3R)4R}/{2R+3R+4R}}={9}/{29}·{U_0}/{R}$.
Тогда $U_{ab}={9}/{29}·{U_0}$.
По закону Ома для участка цепи: $U_{bc}=I_1·2R$
Здесь $I_1$ - ток, протекающий по одной из параллельных ветвей, поэтому $I_0=I_1+I_2$, тогда $I_1=I_0-I_2$.
Ток $I_2={U_{bd}}/{4R}={U_{0}-U_{ab}}/{4R}={U_{0}-{9}/{29}{U_0}}/{4R}={5}/{29}{U_0}/R$
Тогда $I_1=I_0-I_2={9}/{29}{U_0}/{R}-{5}/{29}{U_0}/R={4}/{29}{U_0}/R$
$U_{bc}={4}/{29}{U_0}/R·2R={8}/{29}{U_0}$
Получим напряжение на конденсаторе $U_{ac}={9}/{29}·{U_0}+{8}/{29}{U_0}={17}/{29}{U_0}$
Тогда заряд на С равен $q={17}/{29}·C·U_0$
Задача 18
Радиоактивный натрий $↙{11}↖{25}Na$ распадается, испуская β-частицы. Период полураспада натрия T = 14,8 ч. Вычислите количество атомов ∆N , распавшихся в 1,0 мг данного радиоактивного препарата за время t = 10 ч.
Решение
Дано:
$↙{25}↖{11}Na$
$∆t=104$
$T=14.84$
$∆N-?$
$m_0=1·10^{-6}$кг
Решение:
1) $N=N_0·e^{-λt}$ - закон распада.
2) $N_0={mN_A}/{μ_{N_A}}$ и $λ={ln^2}/{T}$ - постоянная распада связана с периодом полураспада. Тогда:
3) $N-N_0=N_0(1-e^{-λt})={mN_A}/{μ}(1-e^{-{ln^2}/{T}})=9.4·10^{18}$шт.
Задача 19
На каком расстоянии L от дифракционной решётки нужно поставить экран, чтобы расстояние между нулевым и четвёртым максимумами было равно x = 50 мм для света с длиной волны λ = 500 нм? Постоянная дифракционной решётки d = 0,02 мм.
Решение
Дано:
$λ=500$нм
$d=0.02$
$x=50$нм
$L-?$
Решение:
Формула дифракционной решетки $d·sinϕ=K·λ$. Возьмем $∆ABC$, где $AB$ - расстояние до экрана, $CB$ - часть экрана. В точке В нулевой max, в точке С спектр 4-го порядка.
$AC^2=AB^2+BC^2⇒AC=√{AB^2+BC^2}$
$sinϕ={K·λ}/{d}={BC}/{AC}={l}/{AC}$
$sinϕ={l}/{√{x^2+e^2}}$ или выразим $x=√{{e^2(d^2-K^2λ^2)}/{K^2·λ^2}}=0.5м$
Задача 20
Два одинаковых конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику ЭДС. Во сколько раз изменится энергия системы конденсаторов, если один из них погрузить в жидкость с диэлектрической проницаемостью, равной 3,0? Погружение осуществляется при подключённом источнике.
Решение
1) При последовательном соединении заряда на конденсатор равны $q_0=C·U_0=C{U}/{2}$. После погружения одного из них в диэлектрик $q=C·U_1=ε·C·U_2$. Так как конденсаторы подключены к источнику тока, общее напряжение $U$ на конденсаторах остаётся постоянным. $U_2=U-U_1=U-q/C$. Тогда
$q=ε·C·(U-q/C)$.
$q={ε·C·U}/{1+ε}$.
Энергии системы конденсаторов до и после: $W_0={q_0U}/{2}; W={qU}/{2}$.
Изменение энергии:${W_0}/{W}={q_0}/{q}={(1+ε)}/{2ε}={1+3}/{6}={2}/{3}$, т.е. $W={1.5}W_0$ - энергия увеличится в 1,5 раза.