Задание 29. Электродинамика. Расчетная задача. ЕГЭ 2022 по физике
Средний процент выполнения: 18.1%
Ответом к заданию 29 по физике может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задачи для практики
Задача 1
Два одинаковых маленьких шарика, находясь на расстоянии 50 см, отталкиваются друг от друга с силой 80 мкН. Когда их привели в соприкосновение и отвели на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла на 90 мкН. Определите заряд шариков до их соприкосновения. Ответ выразите в нКл и округлите до целых.
Решение
Дано:
$F_1=80·10^{-6}H$
$r_1=0.5=r_2=r$
$∆F=90·10^{-6}H$
$k=9·10^9{Н·м^2}{Кл^2}$
$q_1-?q_2-?$
Решение:
Запишем закон Кулона до соприконовения шариков: $F_1=k{q_1q_2}/{r^2}$(1). После соприкосновения, заряды шариков стали одинаковыми и по закону сохранения электрического заряда имеем: $q_1+q_2=q+q=2q$ или $q_1=2q-q_2$(2). Запишем закон Кулона после соприкосновения шариков: $(F_1+∆F)=k{qq}/{r^2}={kq^2}/{r^2}$(3), где $q$ - заряд шариков после соприкосновения, найдем $q$: $q=√{{(F_1+∆F)r^2}/{k}}=√{{170·10^{-6}·0.25}/{9·10^9}}=6.87·10^{-8}$Кл. Подставим (2) в (1) и найдем заряд $q_2$: $F_1={k(2q-q_2)2q_2}/{r^2}={2kqq_2-kq_2}/{r^2}$ или $kq_2^2-2kqq_2+F_1r^2=0 |:2$
$q_2^2-2kqq_2+{F_1r^2}/{k}=0$ или $q_2^2-13.74·10^{-8}q_2+2.22·10^{-15}=0$.
$D=b^2-4ac=188.78·10^{-16}-8.88·10^{-15}=10^{-14}=100·10^{-16}$.
$q_{2(1,2)}={13.74·10^{-8}±10·10^{-8}}/{2}$.
$q_{2(1)}={3.74·10^{-8}}/{2}=1.87·10^{-8}=19·10^{-9}=19$нКл.
$q_{2(2)}={13.74·10^{-8}+10·10^{-8}}/{2}$ - не удовлетворяет условию задачи.
Подставим числовые значения в (2): $q_1=2·6.87·10^{-8}-19·10^{-9} Кл=118$нКл.
Задача 2
На дифракционную решётку, имеющую 200 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны 5,5 · 10−7 м. Сколько всего дифракционных максимумов можно увидеть на экране?
Решение
Дано:
$N=200$
$l=10^{-3}$м
$λ=5.5·10^{-7}$м
$φ=90°$
$(2k+1)-?$
Решение:
Условие главных максимумов интенсивности на дифракционной решетке: $d·sinφ=±kλ$(1), где $k=0,1,2,3...,$ где $d={l}/{N}$(2) - период дифракционной решетки, $k$ - номер главного максимума. $sinφ=sin90°=1$. Найдем $k$: $d·sinφ=kλ; k={d}/{λ}·sinφ={l·sinφ}/{N·λ}$(3).
Подставим числовые значения в (3): $k={10^{-3}·1}/{200·5.5·10^{-7}}={10^4}/{1100}=9.09=9$. Тогда число максимумов на экране $(2k+1)=2·9+1=18+1=19$.
Задача 3
Электрический заряд 5 · 10−8 Кл в некоторой точке создаёт потенциал электрического поля 500 В. В эту точку поместили второй заряд 10 · 10−8 Кл. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить второй заряд ближе к первому на 10 см?
Решение
Дано:
$Q=5·10^{-8}$Кл
$φ_1=500$В
$q=10·10^{-8}$Кл
$∆r=0.1$м
$A_{12}-?$
Решение:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда $q_2$ из точки 1 в точку 2 равна: $A_{12}=q(φ_1-φ_2)$(1).
Найдем расстояние $r_1$ от заряда $Q$ до точки 1, в которой потенциал $φ_1=500B$.
Потенциал $φ_1$ равен: $φ_1={W_1}/{q}$, где $W_1=k{Qq}/{r_1}$.
Тогда $φ_1=k{Q}/{r_1}$(2), где $k=9·10^9{Н·м^2}/{Кл^2}$ - коэффициент пропорциональности,
откуда $r_1={kQ}/{φ_1}={9·10^9·5·10^{-8}}/{5·10^2}=0.9$м(3).
Из рисунка видно, что $r_2=r_1-∆r=0.9-0.1=0.8$м.
Найдем потенциал $φ_2$: $φ_2={kQ}/{r_2}={9·10^9·5·10^{-8}}/{0.8}={450}/{0.8}=562.5$B.
Найдем работу поля $A_{12}$: $A_{12}=q_2(φ_1-φ_2)=10·10^{-8}·(500-562.5)=-625·10^{-8}=-6.25·10^{-6}=-6.25$мкДж.
Работа, совершаемая полем при таком перемещении отрицательна, так как сила кулона, действующая на заряд q со стороны заряда Q, направлена против перемещения заряда.
Работа внешних сил, перемещающих заряда, будет противоположна по знаку: $A_{12 (внешн.)}=-A_{12}=6.25=6.25$мкДж.
Задача 4
Электрон прошёл ускоряющую разность потенциалов 100 В и влетел в однородное магнитное поле индукцией 5 · 10−4 Тл перпендикулярно сило вым линиям поля. Определите радиус траектории электрона в этом поле.Ответ дать в см.
Решение
Дано:
$U=100B$
$e=1.6·10^{-19}$Кл
$m_e=9.11·10^{-31}$кг
$B=5·10^{-4}$Tл
$α=90^o$
$R-?$
Решение:
Так как электрон влетел в однородное магнитное поле под прямым углом, то он будет двигаться по окружности радиуса $R$, где на него будут действовать сила Лоренца, которые будет задавать электрону центростремительное ускорение: $F_л=m_ea_{ц.с.}=eυB·sinα$, где $sinα=sin90=1$, $a_{ц.с.}={υ^2}/{R}; m_e{υ^2}/{R}=eυB$, откуда $R={m_eυ}/{eB}$(1). Скорость электрона $υ$ найдем из уравнения: $eU={m_eυ^2}/{2}$, откуда $υ=√{{2eU}/{m_e}}$(2), где $e$ - заряд электрона, $m$ - масса электрона.
Подставим (2) в (1): $R={m_e·√{{2eU}/{m_e}}}/{e·B}={√{2m_e·e·U}}/{e·B}={√{2m_e·U}·√{e}}/{√{e}·√{e}·B}={√{2m_e·U}}/{√{e}·B}={√{2·9.11·10^{-31}·100}}/{5·10^{-4}·√{1.6·10^{-19}}}={13.498·10^{-15}}/{20·10^{-4}·10^{-10}}=0.067=6.7$см.
Задача 5
В колебательном контуре электроёмкость переменного конденсатора увеличили на 5 мкф. При этом частота электромагнитных колебаний в контуре изменилась в √2 раз. Определите первоначальную электроёмкость конденсатора.
Решение
Дано:
$∆С=5·10^{-6}$ф
${v_1}/{v_2}=√2; {v_2}/{v_1}={1}/{√2}$
$C_1-?$
Решение:
Запишем формулу Томсона: $T=2π√{LC}$(1), где $L$ - индуктивность катушки, $C$ - электроемкость конденсатора. Учитывая, что частота электромагнитных колебаний $v={1}/{T}={1}/{2π√{LC}}$(2), имеем: $v_1={1}/{2π√{LC_1}}$(3), $v_2={1}/{2π√{LC_2}}$(4). Учтем, что $∆C=C_2-C_1$ или $C_2=C_1+∆C$, получим: $v_2={1}/{2π√{L(C_1+∆C)}}$(5). Разделим (5) на (3): ${v_2}/{v_1}={1}/{2π√L·√{C_1+∆C}}·{2π√L·√{C_1}}/{1}={√{C_1}}/{√{C_1+∆C}}$ или $({v_2}/{v_1})^2={C_1}/{C_1+∆C}$(6).
Подставим числовые значения в (6) и найдем $C_1$: $({1}/{√2})^2={C_1}/{C_1+∆C}⇒{1}/{2}={C_1}/{C_1+∆C}⇒C_1+∆C=2C-1⇒C_1=∆C=5·10^{-6}=5$мкФ.
Задача 6
На катод сначала подействовали излучением с длиной волны λ1 = 500 нм, потом с длиной волны λ2 = 200 нм, и оказалось, что максимальная скорость фотоэлектронов во втором случае в 2 раза больше. Найдите, чему равна частота красной границы фотоэффекта для этого материала. Ответ запишите в Гц
Решение
Дано:
$λ_1=500·10^{-9}$м
$λ_2=200·10^{-9}$м
$υ_{2}=2·{υ_{1}}$
$v_{кр}-?$
Решение:
Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, поэтому $E_{2(k)}=4E_{1(к)}$. Пусть $E_{1(к)}=E$, тогда $E_{2(к)}=4E$.
Уравнение Эйнштейна запишем для 2-х случаев.
$\{\table\h{c}/{λ_1}=A_{вых}+E_{1(к)}; \h{c}/{λ_2}=A_{вых}+E_{2(к)};$ $⇒hc({1}/{λ_2}-{1}/{λ_1})=E_{2(к)}-E_{1(к)}=3E$
$h{c}/{λ_1}=A_{вых}+1/3hc({1}/{λ_2}-{1}/{λ_1})
⇒{h{c}/{λ_1}-1/3hc({1}/{λ_2}-{1}/{λ_1})}=A_{вых}$; $A_{вых}=hv_{кр}$.
$hv_{кр}=hc({4/3}{1}/{λ_1}-1/3{1}/{λ_2})$
$v_{кр}=c({4/3}{1}/{λ_1}-1/3{1}/{λ_2})$
$v_{кр}={3·10^8}({{4/3}{1}/{500·10^{-9}}-1/3{1}/{200·10^{-9}})=3·10^{14}$ Гц
Задача 7
Протон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 2 · 105 м/с. Напряжённость поля внутри конденсатора 3 кВ/м, длина его пластин 12 см. Найдите, во сколько раз скорость протона при вылете из конденсатора будет больше его начальной скорости. Ответ округлите до сотых.
Решение
Дано:
$υ_0=2$м/с
$E=3·10^3$В/м
$l=12·10^{-2}$м
${υ}/{υ_0}-?$
Решение:
$F=e·E$ - действующая на эелектрон.
$a={F}/{m}={e·E}/{m}; t={l}/{υ_0};U_y=at={eE}/{m}·{l}/{υ_0}$
${υ}/{υ_0}={√{υ_0^2+υ_y^2}}/{υ_0}={√{υ_0^2+({eE}/{m}·{l}/{υ_0})^2}}/{υ_0}=1.32$.
Задача 8
В идеальном колебательном контуре амплитуда колебаний силы тока в катушке индуктивности Im = 8 мА, а амплитуда напряжения на конденсаторе Um = 2 В. В момент времени t напряжение на конденсаторе равно 1,5 В. Найдите силу тока в катушке в этот момент. Ответ округлите до десятых. Ответ выразите в (мА).
Решение
Дано:
$I_m=8·10^{-3}$А
$U_m=2$В
$U_1=1.5B(t_1)$
$I_1(t_1)-?$
Решение:
Закон сохранения для колебательного контура, состоящего из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$: ${C·U_m^2}/{2}={LI_m^2}/{2}⇔{C}/{L}={I_m^2}/{U_m^2}$.
Аналогично закон сохранения энергии для второго случая. ${C·U_^2}/{2}+{L·I^2}/{2} ={C·U_m^2}/{2}$. Выразим ток и получим: $I(t_1)=I_m√{1-{U^2}/{U_m^2}}=8·10^{-3}√{1-{1.5^2}/{2^2}}=5.3$мА.
Задача 9
Красная граница фотоэффекта для вещества фотокатода 320 нм. Фотокатод облучают светом с длиной волны 220 нм. При каком напряжении (в В) между анодом и катодом фототок прекращается?
Решение
Дано:
$λ_{к.г.}=320нм$
$λ^1=220нм$
$U_з-?$
Решение:
Уравнение Эйнштейна ${hc}/{λ}=A+{mυ^2}/{2}$. Тогда ${hc}/{λ_0}=A; {mυ^2}/{2}·eU$ подставим $U_з={hc}/{e}={λ_{к.г.}-λ}/{λ·λ_{к.г.}}=1.7B$
Задача 10
В середину пространства между обкладками конденсатора вставлена тонкая прослойка стекла толщиной d1 = 2 см и диэлектрической проницаемостью ε = 7. Расстояние между обкладками конденсатора d = 10 см, напряжение между ними U1 = 290 В. Найдите, какое напряжение установится между обкладками, если стекло вытащить.
Решение
Дано:
$d_1=2·10^{-2}$м
$E=7$
$U_1=290B$
$d=10^{-2}$м
$U_2-?$
Решение:
Так как диэлектрик заполняет конденсатор не полностью рассмотри его как систему из трех конденсаторов последовательно включенных.
$\{\table\c_1={ε_0·S}/{x}; \c_2={ε_0·ε·S}/{d_1}; \c_3={ε_0·S}/{y};$
$x=y={(d-d_1)}/{2}; {1}/{C_1}+{1}/{C_2}+{1}/{C_3}={1}/{C}$, тогда $C={ε_0·ε·S}/{d_1+ε(x+y)}; q_1=q_2; C_1U_1=C_2U_2; C={q}/{U}$
${ε_0·ε·S·U_1}/{d_1+E(x+y)}={ε_0·S·U_2}/{d}⇒U_2={ε_0·d·U_1}/{d_1+E(x+y)}={7·10^{-2}·290}/{2·10^{-2}+7·8·10^{-2}}=350B$
Задача 11
На дне сосуда, наполненного водой до высоты h, находится точечный источник света. На поверхности воды плавает круглый диск так, что его центр находится над источником. При каком минимальном диаметре d диска лучи от источника не будут выходить из воды?
Решение
Дано:
$D-?$
Решение:
$α$ угол отражения на границе вода-воздух: $R=htgα$
1) $sinα_0={n_{возд}}/{n_{воды}}={1}/{n_{воды}}$.
$2R={2h}/{√{n_{воды}^2-1}}$.
$tgα={sinα_0}/{√{1-sin^2α_0}}={1}/{√{n_{воды}^2-1}}$.
Задача 12
Плоский конденсатор ёмкостью C заполнен проводящим диэлектриком с проницаемостью ε и удельным сопротивлением ρ. Расстояние между пластинами равно d. Через сопротивление R конденсатор подключён к источнику с ЭДС E и внутренним сопротивлением r. Определите напряжённость электрического поля E в диэлектрике.
Решение
Решение:
Для данной ситуации необходима формула постоянного тока:
$\{\table\С={ε_0εS}/{d}; \R_c=ρ{d}/{S};$ $\{\table\.{S}/{d}·{C}/{εε_0}; \.{d}/{S}={R_c}/{ρ};$ $⇒R_c={ε_0ερ}/{c}$.
Закон Ома $U=I·R={ε·R}/{R+r}; E={U_c}/{d}; U_c={εR_c}/{R_c+R+r}$.
Тогда группируем и получим: $E={ε_0ερε}/{[ε_0ερ+rc]d}$.
Задача 13
Горизонтальный проводник длиной l = 0,20 м и весом P = 0,1 H, подвешенный на двух тонких невесомых нитях, находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией B = 0,25 Тл. На какой угол α от вертикали отклонятся нити, поддерживающие проводник, если по нему пропустить ток I = 2,0 A?
Решение
Решение:
При пропускании тока на проводнике действует сила Ампера $F_A=JBl(sin90=1)$
По 2 закону Ньютона: ${F_A}↖{→}+mg↖{→}+T↖{→}=0$.
$T$-общая сила натяжения двух нитей
m - масса стержня.
Сила тяжести покоящегося в воздух стержня $mg = P$
${F_A}$ - сила Ампера: ${F_A}=BIlsinβ$ ( $β=90°$, $sinβ=1$ )
Проекции 2 закона Ньютона на оси x и y:
${F_A}-Tsinα=0$
${-mg}+Tcosα=0$
Преобразуем уравнения и поделим одно на другое:
${F_A}=Tsinα$
${mg}=Tcosα$
${sinα}/{cosα}=tgα={F_A}/{mg}⇒α=arctg({BIl}/{P})$.
$α=arctg({0.25·2.0·0.2}/{0.1})=45°$
Задача 14
В магнитном поле с индукцией B = 10−2 Тл вращается стержень длиной l = 0,2 м с постоянной угловой скоростью ω = 100 c−1. Найдите ЭДС индукции, возникающей в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно силовым линиям магнитного поля.
Решение
Дано:
$B=10^{-2}$Тл
$l=0.2$м
$ω=100с^{-1}$
$ε_i-?$
Решение:
ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока $E_i=-{dФ}/{dt}; dФ=B·d·S$
Площадь сечения: $dS=πl^2·{ω}/{2π}·d·t·l^2·{ω}/{2}·d·t$.
Тогда $ε_i$ равна: $E_i=-{dФ}/{dt}=Bl^2{ω}/{2}=10^{-2}·0.2^2·{100}/{2}=20$мВ.
Задача 15
Шар радиусом 10 см с зарядом 1,11 · 10−10 Кл облучается светом с длиной волны 331 нм. Определите, на какое расстояние удалится фотоэлектрон, если работа выхода материала шара 2 · 10−19 Дж.
Решение
Дано:
$r=10^{-1}$см
$a=1.11·10^{-10}$Кл
$λ=331·10^{-9}$м
$A_{вых}=2·10^{-19}$
$R-?$
Решение:
1) По закону фотоэффекта $hυ=A_{вых}+e·ф_1$.
2) $ϕ_1={k·a}/{R}$(потенциал шара).
3) Выразим $R$ (расстояние до фотоэлектрона): ${hc}/{λ}=A_{вых}+{k·q}/{R}⇒R=({{hc}/{λ}-A_{вых}}/{k·q})={{6.62·10^{-34}·3·10^8}/{331·10^{-9}}-2·10^{-19}}/{9·10^9·1.6·10^{-19}=3.3$см
Задача 16
Два одинаковых проводящих шарика, масса которых равна m1 = m2 = 0,01 г, подвешены в одной точке на нитях длиной l = 1 м. Один из шариков отвели в сторону и сообщили ему заряд q, затем привели в соприкосновение с другим шариком, после чего шарики разошлись на расстояние r = 14 см. Определите модуль заряда q.
Решение
Дано:
$m_1=m_2=0.01·10^{-3}$кг
$l=1$м
$r=14$см
$2q-?$
Решение:
1) На каждый шарик действуют сила тяжести $mg$, сила упругости нити $F_{упр}$ и кулоновская сила.
2) Составим уравнение проекций 3-х сил на ось Ох, которая перпендикулярна упругости $sinα={n}/{2l}$.
$Ox: mg·cos(90-α)={Kq^2}/{r^2}·cosα$
3) Преобразуем: $2q=α√{{m·g·r^2}/{K}}·ctgα=α·√{{0.01·10^{-3}·10·(14·10^{-2})14.26}/{9·10^{-9}}}=7.8$нКл
Задача 17
Источник монохроматического электромагнитного излучения мощностью P = 100 Вт испускает Nф = 5,0 · 1020 фотонов за время ∆t = 1 c. Найдите длину волны λ этого излучения.
Решение
Дано:
$P=100$Вт
$n=5·10^{20}$
$t=1c$
$λ-?$
Решение:
$\{\table\P_1={P}/{n}; \P_1={E}/{t}={hυ}/{t}={hc}/{λ·t};$
${P}/{n}={h·c}/{λ·t}⇒λ={n·h·c}/{P·t}={5·10^20·6.63·10^{-34}·3·10^8}/{100·8}=0.99·10^{-6}м$
Задача 18
Четыре резистора сопротивлением $R$, $2R$, $3R$ и $4R$ и конденсатор электрической ёмкостью $C$ подключены к напряжению $U_0$ так, как показано на рисунке. Найдите заряд $q$ на конденсаторе.
Решение
Известно, что $q=C·U_{ac}$, где $U_{ac}=U_{ab}+U_{bc}$.
По закону Ома: $U_{ab}=I_0·R$, где $I_0$ - общий ток на всём участке цепи (он же протекает по резистору R, так как через конденсатор ток не течёт)
По закону Ома ток на всём участке цепи: $I_0={U_0}/{R+{(2R+3R)4R}/{2R+3R+4R}}={9}/{29}·{U_0}/{R}$.
Тогда $U_{ab}={9}/{29}·{U_0}$.
По закону Ома для участка цепи: $U_{bc}=I_1·2R$
Здесь $I_1$ - ток, протекающий по одной из параллельных ветвей, поэтому $I_0=I_1+I_2$, тогда $I_1=I_0-I_2$.
Ток $I_2={U_{bd}}/{4R}={U_{0}-U_{ab}}/{4R}={U_{0}-{9}/{29}{U_0}}/{4R}={5}/{29}{U_0}/R$
Тогда $I_1=I_0-I_2={9}/{29}{U_0}/{R}-{5}/{29}{U_0}/R={4}/{29}{U_0}/R$
$U_{bc}={4}/{29}{U_0}/R·2R={8}/{29}{U_0}$
Получим напряжение на конденсаторе $U_{ac}={9}/{29}·{U_0}+{8}/{29}{U_0}={17}/{29}{U_0}$
Тогда заряд на С равен $q={17}/{29}·C·U_0$
Задача 19
Радиоактивный натрий $↙{11}↖{25}Na$ распадается, испуская β-частицы. Период полураспада натрия T = 14,8 ч. Вычислите количество атомов ∆N , распавшихся в 1,0 мг данного радиоактивного препарата за время t = 10 ч.
Решение
Дано:
$↙{25}↖{11}Na$
$∆t=104$
$T=14.84$
$∆N-?$
$m_0=1·10^{-6}$кг
Решение:
1) $N=N_0·e^{-λt}$ - закон распада.
2) $N_0={mN_A}/{μ_{N_A}}$ и $λ={ln^2}/{T}$ - постоянная распада связана с периодом полураспада. Тогда:
3) $N-N_0=N_0(1-e^{-λt})={mN_A}/{μ}(1-e^{-{ln^2}/{T}})=9.4·10^{18}$шт.
Задача 20
На каком расстоянии L от дифракционной решётки нужно поставить экран, чтобы расстояние между нулевым и четвёртым максимумами было равно x = 50 мм для света с длиной волны λ = 500 нм? Постоянная дифракционной решётки d = 0,02 мм.
Решение
Дано:
$λ=500$нм
$d=0.02$
$x=50$нм
$L-?$
Решение:
Формула дифракционной решетки $d·sinϕ=K·λ$. Возьмем $∆ABC$, где $AB$ - расстояние до экрана, $CB$ - часть экрана. В точке В нулевой max, в точке С спектр 4-го порядка.
$AC^2=AB^2+BC^2⇒AC=√{AB^2+BC^2}$
$sinϕ={K·λ}/{d}={BC}/{AC}={l}/{AC}$
$sinϕ={l}/{√{x^2+e^2}}$ или выразим $x=√{{e^2(d^2-K^2λ^2)}/{K^2·λ^2}}=0.5H$