Задание 28. Молекулярная физика (расчетная задача). ЕГЭ 2023 по физике

Дано:

$m_1=10^{-2}$кг

$υ_1=400$м/с

$m_2=1$кг

$υ_2=300$м/с

$c=140$Дж/кг·С

$Q=0.6∆E_к$

$∆T-?$

Решение:

Рассчитаем потери кинетической энергии системы "пуля-шар": $∆E_к={mυ_1^2}/{2}-{mυ_2^2}/{2}={m}/{2}·(υ_1^2-υ_2^2)={10^{-2}}/{2}(16·10^4-9·10^4)={7·10^2}/{2}=350$Дж.

Количество теплоты, которое получает пуля равно: $Q=cm·∆t$(2), где $c$ - удельная теплоемкость свинца, $c=140$Дж/кг·С.

По условию задачи: $Q=0.6·∆E_к$, откуда $∆t={0.6∆E_к}/{cm}$(3). Подставим числовые значения в (3): $∆t={0.6·350}/{10^{-2}·140}=150°C$. Поскольку $1°C=1K$, то $∆t=∆T=150K$

Дано:

$υ=2$моля

$T_1=200K$

$P_1=2·10^5$Па

$A=939.5$Дж

$P_2=0.25·10^5$Па

$Q-?$

Решение:

1) Уравнение Менделеев-Клайперона: $pV=υRT$

$\{\table\U_1={3}/{2}υRT_1; \U_2={3}/{2}υRT_2;$ $∆U={3}/{2}υR(T_2-T_1)$

Давление обратно пропорционально убу объёма, поэтому: ${p_1}/{p_2}=(V_2)^3/(V_1)^3$.
${p_1}/{p_2}={2·10^5}/{0.25·10^5}=8$, тогда ${V_2}/{V_1}=√^3{p_1/p_2}=2$

Из уравнений Менделеева-Клапейрона для двух состояний газов: ${p_1V_1}/{T_1}={p_2V_2}/{T_2}$. Тогда $T_2={p_2V_2}/{p_1V_1}T_1=1/4T_1=1/4·200=50K$.

$Q=A+∆U⇒939.5+{3}/{2}·2·8.31(50-200)=-2800$кДж.

1) Первое начало термодинамики $-Q=∆U+A$, $∆U={3}/{2}υRT$, по условию $p={α}/{V^3}⇒V={α}/{√^3{p}}$.

2) По закону Менделеева-Клайперона $pV=υRT$.

3) Определим конечную температуру: $T_2=T_1√^3{{p_2}/{p_1}}=400√{{0.5·10^5}/{4·10^5}}=200K$.

4) Таким образом $A=-Q-∆U=-1979-{3}/{2}·2·8.31(200-400)=5.5$кДж.

Дано:

$B=60%$

$T=293K$

$V=1м^3$

$P_н=10^5$Па

$M=1,2004$кг

$P_{нп}-?$

Решение:

Уравнение Менделеева-Клайперона:

$\{\table\P_1·V=υ_1·RT; \P_2V=υ_2·RT;$ $⇒P_1+P_2=(υ_1+υ_2)·8.31·293$.

$P_1+P_2=P_н; υ_1+υ_2={100000}/{2434.83}=41.6$моль.

Тогда $\{\table\υ_1·0.018+υ_1·0.029=1.2004; \υ_2=41.6-υ_1;$ $⇒υ_1=0.545$моль.

$P_1={υ_1·RT}/{V}={0.545·8.31·293}/{1}=1370$Па.

Дано:

$V=10·5·3м^3$

$T_1=373K$

$ϕ_{отн}$ ?

Решение:

При $T=373К$ пар Pнасыщ. = 100кПа => относительная влажность $ϕ_{отн}$ = $P/P_{н}$*100% = $80/100$ *100% = 80%

Решение:

Происходящие с газом в данной задаче процессы в координатах pV выглядят вот так:

Согласно первому закону термодинамики, общее количество теплоты Q, полученное газом в процессах 12 и 23, идёт на изменение внутренней энергии газа $∆U$ и совершение газом работы $A$: $Q=∆U+A$ (1)
$Q=Q_{12}+Q_{23}$. Так как процесс 12 адиабатный, $Q_{12}=0$, значит $Q=Q_{23}$
$∆U=U_3-U_1={3}/{2}vRT_{3}-{3}/{2}vRT_{1}={3}/{2}vR(T_{3}-T_1)=0$, т.к. $T_3=T_1$ по условию.

Ур-е (1) примет вид: $Q_{23}=A$ (2)
$A=A_{12}+A_{23}$ (3) - полная работа газа складывается из работ газа в каждом процессе.

Согласно первому закону термодинамики для изобарного процесса 23: $Q_{23}=A_{23}+∆U_{23}$ (4)
В изобарном процессе работа газа $A_{23}=p(V_3-V_2)$, а изменение внутренней энергии: $∆U_{23}=3/2p(V_3-V_2)=3/2A_{23}$.
Уравнение (4) примет вид: $Q_{23}=A_{23}+3/2А_{23}=5/2A_{23}$.
Тогда с учётом ур-я (2) $A_23=2/5Q_{23}=2/5A$

Подставим полученное выражение для $A_{23}$ в ур-е (3): $A=A_{12}+2/5A$ => $A_{12}=A-2/5A=3/5A=3/5·10кДж=6кДж$

Дано:

$E=200$мДж

$υ=10$Гц

$t=1$час

$∆t′=5°$

$η=4%$

$V_в-?$

Решение:

1) Мощность излучения $P_{изл}=W·υ$.

2) Потребляемая мощность $P_л={P_{изл}}/{η}$

3) Мощность охлаждения: $P_{охл}=P_л-P_{изл}=P_{изл}{(1-η)}/{η}$

4) $Q_{охл}=P_{охл}·t$ выразим через числовой баланс $Q_{охл}=ρ·υ·c·∆t$

5) Выразим и получим $V={W·υ·T}/{ρ·c·∆t′}·{1-η}/{η}={200·10^{-3}·10·3600}/{1000·4.2·10^3·5}·{1-0.04}/{0.04}=8.2л$

Дано:

$l_1=1,3l_2$

$l=0,11$м

$a=8,6$м/с^2

$p(атм)-?$

Решение:

Запишем уравнения для I и II случаев перемещения трубки:

$↙{II}↖{I}$ $\{\table\p_0+ρ_pgl=p; \p+ρ_pgl=p_0;$ $\{\table\p_0{l}/{2}=p{l}/{2}(p_0+ρ_pglρe)+ρe{l^2}/{2}; \p_0{l}/{2}=p_0{l}/{2}+∆l(p_0-ρgl)-ρgl)-ρg{l^2}/{2};$

$↙{II}↖{I}$ $\{\table\∆l={ρgl^2}/{2(p_0+ρgl)};$ $⇒$ |учитывая, что $g=8.6м/с^2$| $⇒{1}/{1.3}={p_0-ρgl}/{p_0+ρgl}⇒p_0={2.3·gρl}/{0.3}={2.3·8.6·1.3·54}/{0.3}=98.6$кПа.

Дано:

$С_1=250·10^{-12}$ф

$С_2=150·10^{-12}$ф

$ε=6.2$В

$n=3.7$

$U_1-?$

Решение:

Напряжение на резисторе, подключенном параллельно к конденсаторам: $U=U_1+U_2$(1), где $U_1$ и $U_2$ - напряжения на первом и втором конденсаторах соответственно. Конденсаторы соединены последовательно, следовательно, заряды на них будут одинаковыми: $q=C_1U_1=C_2U_2$(2). Решая совместно уравнения (1) и (2), получим: $U_1={C_2U_2}/{C_1}; U_2={C_1U_1}/{C_2}$

$U={C_2U_2}/{C_1}+U_2⇒U_2({C_2}/{C_1}+1)=U⇒U_2={U}/{({C_2}/{C_1}+1)}⇒U_2={U}/{{C_2+C_1}/{C_1}}⇒U_2={C_1U}/{C_1+C_2}$(3). Аналогично: $U=U_1+{C_1U_1}/{C_2}⇒U_1(1+{C_1}/{C_2})=U⇒U_1={U}/{(1+{C_1}/{C_2})}⇒U_1={U}/{{C_1+C_2}/{C_2}}⇒U_1={C_2U}/{C_1+C_2}$(4).

Через конденсаторы ток не идет, поэтому закон Ома для рассматриваемой цепи запишется в виде: $J={ε}/{R+r}$(5), где $r$ - внутреннее сопротивление источника; $J$ - сила тока, текущего через источник и резистор. Падение напряжения на резисторе, согласно закону Ома для однородного участка цепи: $U=J·R=ε-Jr$(6). Ток короткого замыкания соответствует условию $R=0$, т.е. $J_0={ε}/{r}$(7). Согласно условию задачи: ${J_0}/{J}=n=3.7$(8).

Подставляя (5) и (7) в выражение (8), имеем: ${ε}/{r}:{ε}/{(R+r)}=3.7⇒{ε}/{r}·{(R+r)}/{ε}=3.7⇒{R+r}/{r}=3.7⇒R=3.7r-r=2.7r$, т.е. $R=2.7r$(9). Подставляя (9) в (5), получим: $J={ε}/{2.7r+r}={ε}/{3.7r}$(10).

После подстановки силы тока $J$ в (6), получим: $U=ε-{ε·r}/{3.7·r}⇒U=ε-{ε}/{3.7}={3.7ε-ε}/{3.7}⇒U={2.7ε}/{3.7}={2.7·6.2}/{3.7}=4.524B$

Подставляя числовые значения в (4), имеем: $U_1={150·10^{-12}·4.524}/{400·10^{-12}}=1.6966≈1.7B$

Дано:

$t_1=100°$

$t_1=0°$

$A=1.22·10^6$Дж

$λ=3.3·10^5$Дж/кг

$m-?$

Решение:

Максимально возможный КПД достигается, если тепловая машина работает по циклу Карно. Он равен: $η={T_1-T_2}/{T_1}$(1), где $T_1=(t_1+273)K=373K; T_2=(t_2+273)K=273K$. $η={373-273}/{373}=0.268$

$T_1, T_2$ - абсолютные температуры нагревателя и холодильника. С другой стороны, по определению КПД: $η={A}/{Q_{пол}}$(2), где $A=Q_{пол}-|Q_{отд}|$ - работа газа за цикл; $Q_{пол}$ - количество теплоты, полученное за цикл от нагревателя; $Q_{отд}$ - количество теплоты, отданное за цикл холодильнику. Из равенства: ${T_1-T_2}/{T_1}={Q_{пол}-|Q_{отд}|}/{Q_{пол}}$, находим, что $1-{T_2}/{T_1}=1-{Q_{отд}}/{Q_{пол}}$, откуда получаем $|Q_{отд}|=Q_{пол}·{T_2}/{T_1}$(4). Из (2): $Q_{пол}={A}/{η}$(5). Подставим (5) в (4): $|Q_{отд}|={A·T_2}/{η·T_1}$(6).

Отданная холодильнику теплота расходуется на таяние льда при температуре плавления. Следовательно, $|Q_{отд}|=mλ$(7). Приравняем (6) и (7): $mλ={A·T_2}/{η·T_1}⇒m={A·T_2}/{ηλ·T_1}$(8), где $λ$ - удельная теплота плавления льда.

Подставим числовые значения в (8): $m={1.22·10^6·273}/{0.268·3.3·10^5·373}≈10.1$кг.

Дано:

$A=25·10^3Дж$

$A′=20·10^3Дж$

${T_н}/{T_х}-?$

Решение:

Обозначим напряжение на конденсаторе после перевода ключа в положение 1 через $U_1$, а после перевода ключа в положение 2 — через $U_2$. Поскольку энергия $Е$ конденсатора, заряженного до напряжения $U$, равна $Е={CU^2}/{2}$, то отношение энергии конденсатора при положении ключа 2 к энергии конденсатора при положении ключа 1 равно $n={Е_2}/{E_1}={{CU_2^2}/{2}}/{{CU_1^2}/{2}}={U_2^2}/{U_1^2}$

Пусть сила тока, текущего через резисторы, равна $l$. При этом напряжения $U_1$ и $U_2$ на конденсаторе равны напряжениям на соответствующих участках цепи имеющих сопротивления $R_1$ и $R_1+R_2$. На основании закона Ома для участка цепи, получаем: $U_1=IR_1$ и $U_2=I(R_1+R_2)$.

Следовательно, $n={U_2^2}/{U_1^2}=({R_1+R_2}/{R_1})^2=(1+{R_2}/{R_1})^2$

Дано:

$i=3$

$T_2=4T_1$

$η-?$

Решение:

КПД находится как отношение работы за цикл к количеству теплоты, полученной за цикл. В данном случае, теплота получена на участке 1-2. На этом участке давление и объем прямо пропорциональны: ${p_1}/{p_2}={V_1}/{V_2}$

Из уравнения Менделеева-Клайперона: ${p_1V_1}/{T_1}={p_2V_2}/{T_2}$ следует, что $({p_1}/{p_2})^2={T_}/{T_1}$ т.е. ${p_2}/{p_1}={V_2}/{V_1}=√4=2$. $p_2=2p_1, V_2=2V_1$

Работа А за цикл равна: $A={1}/{2}(p_2-p_1)·(V_2-V_1)≈{1}/{2}(p_2V_2-p_1V_1-p_2V_1+p_1V_1)={1}/{2}(2p_1·2V_1-p_1·2V_1-2p_1V_1+p_1V_1)={1}/{2}(4p_1V_1-2p_1V_1-2p_1V_1+p_1V_1)=0.5p_1V_1$

Количество теплоты равно: $Q=A_{1,2}+∆U_{1,2}={p_1+p_2}/{2}·(V_2-V_1)+{3}/{2}(p_2V_2-p_1V_1)={3p_1}/{2}·(2V_1-V_1)+{3}/{2}(2p_1·2V_1-p_1V_1)={3p_1V_1}/{2}+{3·3p_1V_1}/{2}={12}/{2}p_1V_1=6p_1V_1$

Тогда КПД равен: $η={A·100%}/{Q_{пол}}={0.5p_1V_1}/{6p_1V_1}·100%≈8.33%$

Дано:

$t_1=900°C$

$t_2=100°C$

$υ=60км/ч≈16.66м/с$

$V=8л=8·10^{-3}м^3$

$p=700кг/м^3$

$q=44·10^6Дж/кг$

$S=100км=10^5м$

$p-?$

Решение:

Мощность, развиваемую двигателем автомобиля, можно найти по формуле: $p={A}/{t}$(1). Считая, двигатель автомобиля идеальной тепловой машиной, найдем его КПД: $η={A}/{Q_1}={T_1-T_2}/{T_1}$, откуда $A=({T_1-T_2}/{T_1})·Q_1$(2), где полученное от нагревателя количество теплоты: $Q_1=q·m=q·p·V$(3).

Учитывая, что время $t={S}/{υ}$(4), окончательно получим: $p={A}/{t}={({T_1-T_2}/{T_1})·q·p·V·υ}/{S}$(5), где $T_1=t_1+273°C=900°C+273°C=1173K; T_2=t_2+273°C=100°C+273°C=373K$

Подставим числа в (5): $p={({1173K-373K}/{1173K})·44·10^6·700·8·10^{-3}·16.66}/{10^8}=0.682·440·0.7·8·16.66=28007.956≈28кВт$

Дано:

$ε=12B$

$C=10^{-5}$ф

$R=5$Ом

$Q-?$

Решение:

Электрический ток при замкнутом ключе К и заряженном конденсаторе через последовательно соединенные сопротивление 5R и конденсатор С не идет, поэтому напряжение на конденсаторе 5R $U_{5R}=0$. Конденсатор и резистор 5R параллельно соединены с последовательно соединенными резисторами 4R и R, поэтому для напряжений справедливо равенство: $U_c+U_{5R}=U_R+U_{4R}$. Выражая напряжения через закон Ома для участка цепи получим: $U_c=J·(R+4R)=5JR$(1).

По закону Ома для полной цепи ток равен: $J={ε}/{R+4R}={ε}/{5R}(2)$ (внутреннее сопротивление источника по условию пренебрежимо мало)

Подставим (2) в (1): $U_c={5·ε·R}/{5R}=ε=12B$(3).

Следовательно, пока ключ К замкнут, на пластинах конденсатора накапливается заряд и электрическая энергия: $W_э={CU_c^2}/{2}={cε^2}/{2}={10^{-5}·(12)^2}/{2}={144·10^{-5}}/{2}=72·10^{-5}$Дж(4).

После размыкания ключа К, вся энергия конденсатора выделится в виде тепла на последовательно соединенных резисторах $4R,R$ и $5R$, пропорционально их сопротивлениям: $W_э=(4+1+5)Q$

Откуда количество теплоты, выделяющееся на сопротивлении $R$ равно: $Q={W_э}/{10}={72·10^{-5}}/{10}=72·10^{-6}$Дж.

Дано:

$m_1=10$кг

$t_1=25°C$

$T_1=t_1+273=298K$

$T_2=4T_1=4·298K=1192K$

$V_1=V$

$V={V}/{1.25}$

$m_2-?$

Решение:

Давление по определению: $p={F}/{S}={mg}/{S}$, с другой стороны, давление газа из уравнения Менделеева-Клайперона: $p={υRT}/{V}$. Учитывая, что поршень уравновешен внешним и внутренним давлением, имеем для обоих случаев: $p_{внут}=p_{внеш}$(1).

${m_1g}/{S}={υRT}/{V}$(2) и ${(m_1+m_2)g}/{S}={1.25υR4T_1}/{V}$(3).

Разделим почленно (3) на (2): ${(m_1+m_2)g}/{S}:{m_1g}/{S}={5υRT_1}/{V}:{υRT_1}/{V}$.

${(m_1+m_2)g}/{S}·{S}/{m_1g}={5υRT_1}/{V}·{V}/{υRT_1}⇒{m_1+m_2}/{m_1}=5; m_1+m_2=5m_1$, откуда $m_2=5m_1-m_1=4m_1$(4)

Подставим числа в (4): $m_2=4m_1=4·10=40$кг